원주율 계산의 역사

 

 

원주율 pi는 아주 오래전부터 인류가 알고 있던 숫자였다. 직경 1인 원의 둘레의 길이에 해당하는 수이다. 원주율에 파이라는 기호를 최초로 사용한 이는 1706년 영국 수학 월리엄 존스로 알려져 있지만 존재감이 거의 없다가, 오일러가 1736년 자신의 저서에 쓰기 시작하여 전 세계로 퍼졌다. Pi는 둘레를 나타내는 περίμετρος 라는 그리스어의 첫글자이다.

 

Pi가 무리수임은 1768년 수학자 람베르트가 발견하고, 1882년 수학자 린데가 pi가 초월수 (실수 계수의 방정식의 해로 표시할 수 없는 수)임을 증명함으로써 수천년간의 원적 문제(원과 같은 면적의 정사각형 작도)를 불가하다고 증명한다.

 

Pi의 정확한 값을 구하고자 하는 노력은 수학사 전체를 관통한다. 이미 5000년전 바빌로니아 사람들은 원을 육각형 내접원/외접원으로 근사화하여 원주율이 3.125로 오늘날 알고 있는 값과 근사하게 알아낸다.

 

기원전 1700년전에 이집트의 수학지식을 적어 놓은 린드 파피루스가 발견된다. 1858년 스코틀랜드 고미술품 수집가 헨리 린드가 고대 테베 유적에서 발견된 것을 사들였고 현재는 대영 박물관에 있다. 여기에는 총 87문제가 있는데, 그 중 한 문제가 지름 9인 원의 넓이를 한변의 길이가 8인 정사각형의 넓이와 같다고 가정하는 부분이 있다. 이를 적용하여 계산해 보면 pi=3.16049.. 오늘날의 값과 유사하다.

 

고대 그리스에서는 pi=3.1416666, 380년 인도의 ‘싯단타’와 499년 ‘아라바티야’ 문헌에는 pi=3.1416으로 적혀 있다. 중국 삼국시대 위나라 유휘의 ‘구장산술’과 다른 책에서 pi=3.1416, 3.14159라는 휘율이라는 값을 얻는다. 5세기 조충지는 이를 좀 더 개선하며, 이는 당시 중국의 수학도 어느 정도의 단계에 있었음을 짐작케 한다. 그러나 도형과 기호를 사용하지 않고 엄밀성을 결여한 중국의 수학은 이 후로는 정체되어 서양과는 비교 불능의 차이를 만든다.

 

고대 그리스의 아르키메데스는 원을 내외접하는 정 96각형의 길이를 구하여 pi를 아주 정밀하게 계산하는 방법을 제시한다. 이전 까지와는 다르게 원주율을 구하는 방법을 최초로 정확하게 기술하였다.

 

인간의 힘으로 가장 긴 파이의 계산은 영국 수학자 샹크스(1812-1882)가 15년에 걸쳐 1873년 소수점 이하 707자리까지 값을 계산한다. 자신의 계산 과정을 무덤에 묻어 달라고 할 정도로 그렇게 열심히 계산했건만 불행히도 528번째자리부터가 틀렸다는 것이 1945년 밝혀진다. 지금은 아마추어 수학자만이 노는 컴퓨터로 취마삼아 계산하는데, 현재는 소수점 이하 5조 자리까지 계산이 되어 있다. 중세/근대의 원주율 계산의 역사를 간단히 살펴보자.

 

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프랑스 수학자 프랑수아 비에트(1540-1603)는 1/4원호를 계속 나누는 방식으로 아래와 같은 원주율 계산 공식을 제안한다. 이 식을 이용하여 1593년 이전까지 유효자리 6자리에 머물던 원주율의 정확도를 유효자리 10자리까지로 확장한다. 그러나 곱의 형태로 되어 있기에 계산이 복잡하고 느리다. 비에트는 대수학 문제에서 미지수를 문자로 사용하는 표기법을 최초로 소개한 것으로 알려져 있다.

 

 

원주율을 구하는 공식을 나열해 보자. 먼저 1656 John Wallis(1616-1703) 는 원주율 계산에 관한 다음 공식을 만든다. Wallis는 무한대 심볼을 소개한 것으로 알려져 있다.

 

 

그레고리(James Gregory 1368-1675)라는 이탈리아 수학자가 최초로 함수의 급수 표현을 찾아낸다. 이공계에서 많이 사용하는 테일러 (Brook Taylor, 1685-1731) 전개 (Taylor expansion)라는 방식의 아이디어를 최초로 제시한 사람이 그레고리이다. 무한 급수에 관한 여러 중요한 이론을 만들지만, 36세의 젊은 나이에 요절한다. 또한 그레고리는 그레고리안 망원경이라는 반사 망원경의 아이디어를 제공한다.

 

 

Taylor 전개를 arctan 함수에 적용한 후, x에 1을 대입하여 pi를 계산하는 공식을 1680년 라이프니츠가 제안한다. 이 급수는 표현은 아주 simple하지만, 실제로 그 값을 계산하기 위하여 아주 많은 항을 고려해야 한다는 단점이 있다. 그러나, pi라는 신비한 수가 놀랍도록 간단한 규칙으로 표시될 수 있다는 점이 감탄을 자아내게 만든다. 무한자리까지 규칙이 없는 어떤 수가, 아래와 같은 단순한, 홀수의 역수들의 합과 차로 표시된다는 것... 우리가 모르는 어떠한 조화가 감춰있을지 모른다는 느낌이다. 

 

 

Isac Newton(1642-1727)의 원주율 관련 계산 공식이다. Arcsin(x)를 taylor 전개하여 만든 공식이다. Taylor series가 1715년 발표되었으니, 이항 전개 공식으로 아래와 같이 구할 수 있다.

 

 

오일러는 Basel 문제를 해결하면서 아래와 같은 적분 계산 공식을 소개한다. 그러나 보다시피 계산이 용이하지는 않은 형태이다.

 

 

1706년 존 마친(John Marhin)이라는 수학자가 아크탄젠트 급수를 이용한 파이 계산 공식을 제안하고, 최초로 컴퓨터로 계산한 pi값에 이 공식 적용된다. 라이프니츠공식보다 복잡해 보이지만, 훨씬 계산이 빠르다.

 

 

파이에 관한 공식 중 가장 특이한 것은 아래의 라마누잔의 공식이다. 초기하급수에서 나온 공식이라는데, 일단 생긴 모양만 봐도, 더 이상 알고싶은 생각을 사라지게 만드는 기묘한 공식이다.

 

 

1987년 원주율에 미친 처드노브시키 형제(Chudnovsky brothers)가 위의 라마누잔의 공식을 변형하여 아래와 같은 공식을 만든다. 항을 하나 추가할때마다 14자리의 새로운 소수점을 만드는, 수렴속도가 가장 빠른 원주율 계산 공식이다.