우주 방정식, 프리드먼 방정식 2

 

이제 두번째 방법인 Einstein field equation 으로부터, 구해보자. 이 과정 전체를 쫓아가려면 2페이지 이상을 수식으로 가득 채워야 하므로, 접근법만 쫓아가 본다.

 

1.먼저, 예전에 유도한 Einstein 장방정식을 적어보자. 외우기도 간단한 공식이다 (그러나 계산은 지옥이다. Einstein 본인도 이 방정식은 미학적 대상이지, 이것으로 뭘 풀리라고는 기대하지 않았다. 연립 비선형, 다변수 방정식이기 때문이다. 대칭성이 극도로 높은, 지금 같은 문제들만 겨우 풀 수 있다)

 

2.앞서 포스팅한 FRW metric을 다시 remind 해 보자. 

 

3.다음으로는 에너지-모멘텀텐서를 알아야 한다. 등방위적, 균일한 우주, 완전 유체를 가정하는 경우에 E-M tensor는 다음과 같다. 아래에서 원점은 co-moving observer이고 따라서 시간방향으로의 속력만 존재한다.

 

4. Christoffel symbol을 구해야 한다. 구해야 할 것이 한둘이 아니므로 한 과정만 따라가 보고 나머지는 생략한다. 일단 아래를 보면, 각 인자들이 4개씩의 값을 가지므로 64개에다가 각 한 개를 구하기 위해서 다시 16개의 metric 값을 살펴봐야 한다. 복잡하다.

 

그러나, 이번 문제의 경우, 상당한 대칭성이 존재한다. 먼저 metric을 살펴보면 g_mm 의 경우, 즉 대각행렬에만 그 값이 존재하고, 이중 g_tt의 경우는 상수이기에 미분값이 0이다. 하나의 두가지 정도만 예시로 적어보자. 실제로 계산해 보면, 30초 정도면 하나의 Christoffel값들을 구할 수 있으니, 1시간 정도면 필요한 모든 Christoffel symbol을 구할 수 있다.

 

모든 결과를 나열하면 다음 표와 같다.

 

5. 힘들게 구한 christoffel로부터 아래 Ricci tensor 와 Ricci scalar 값을 구한다.

 

이것도 하나만 연습해 보면, 아래와 같이 계산이 지루하긴 하지만, 복잡하지는 않다.

 

나머지 모두에 대해서 구해 보면 아래와 같다.

 

이제 Ricci scalar값을 위의 값들로부터 구해 보면

 

6. 이제 힘겹게 구한 위의 값들을 Einstein field equation에 대입하면 끝이다. 일반상대성이론을 따라서 유도하면 장점은, 뉴턴역학의 해석적인 모호함과, 곡률/우주상수에 대한 모든 상황을 설명할 수 있다는 것이다. 사실 이전 포스팅에서 구한, potential이 도대체 무엇에 대한 potential인지, 그 의미가 애매모호하다. 지구라면 지구의 중심을 향한 potential이다. 그러나, 중심이 없는 우주에서 어디에 대한 potential인지, 그 의미가 모호하다.

 

이렇게 힘든 Friedmann equation으로 무엇을 설명할 것인가? 궁극적으로는 우주 공간의 크기가 어떻게 변했는지, 우주의 물질의 밀도는 어떻게 변하였는지, 우주의 나이는 얼마인지 등을 얘기하려고 하는 것이다.