겔만, 리대수학과 팔정도

이제부터 겔만의 8정도를 군이론의 측면에서 설명하려고 한다. 이것의 이해를 위해서는 먼저 군이론(group theory)에 대한 수학적인 기초가 필요하기에 이번 게시에서는 군이론을 간단히 요약해 본다. 겔만의 8정도는 quark의 (u,d,s) flavour space 상의 회전 대칭에 대한 대수적 구조를 이해하는 것이 필요하다. 

 

1.SU(2) group

입자 물리의 이해에는 U(1), SU(2), SU(3)라는 대수적 구조를 이해해야 한다. 이미, 여러 번 포스팅을 하였기에 그 용어 자체에는 충분히 익숙해졌을 것이다. SU(2)는 special unitary group을 의미한다. special이란 determinant가 1이라는 의미이고, unitary 란, 복소 공간에서 회전 변환을 의미한다. 수학적으로는 아래와 같이 정의된다.

 

이러한 정의를 만족하는 변환을 의미하는데, 행렬 표현으로는 아래와 같이 다양한 형태로 표시할 수 있으며, 4개의 basis로 표시가 된다. 양자 역학에서 파울리 행렬은 자주 등장한다. SU(2)의 basis에 해당하기 때문이다.

 

2.su(2) algebra

SU(2)에 관한 모든 정보는 사실 su(2)라는 special unitary algebra에 담겨있다. su(2)는 SU(2)의 원점에서의 tangent plane에 해당하는 vector space이며, su(2)의 exponential map으로 SU(2)를 생성할 수 있기에 su(2)는 SU(2)의 generator라고 얘기한다. su(2) 의 exponential map이 SU(2)라는 것으로부터 su(2)의 성질을 유추하면

 

Traceless 이고 (대각 원소들의 합이 0이고), anti-hermitian (열과 행을 뒤바꾸면 서로 켤레 복소수 관계)인 행렬은 아래와 같은 파울리 행렬로 표현할 수 있음을 안다. 즉, su(2)의 basis가 3개의 pauli 행렬이다. 즉,

 

책마다 su(2)와 SU(2)를 다양하게 정의하기에 혼동이 오는 점도 있지만, 거의 같은 얘기를 한다.

 

SU(2)를 보통 Lie group이라고 하고, su(2)를 Lie algebra라고 부른다. 여러 번 나온 용어이고, 이전에도 설명했지만 다시 한번 remind 해 보자.

 

3. Lie algebra

 

Lie bracket이 정의된 벡터 공간을 말한다.

 

4. Lie group

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원소들이 연속적이고 부드러운(미분 가능한) 그룹. 그룹은 1개의 연산이 잘 정의된 대수 구조. Lie group의 예를 보면

 

5. SO(3)

SO(3)는 3차원 공간내의 회전을 나타낸다. 이것은 SU(2), quaternion과 iso-morphic 관계에 있다.

 

이것은 Lie group을 이룬다. SO(3)를 생성하는 Lie algebra so(3)를 기술하면

 

6. SU(3)

SU(3)는 complex 3차원 공간에서의 회전을 나타낸다. 이미 얘기한데로 S는 special, 즉 determinant가 1이라는 의미이고 U는 unitary 행렬이라는 의미이다. 즉, 아래 수식으로 주어지는 벡터 공간을 SU(3)라고 얘기한다.

 

SU(2)일때와 마찬가지로 위의 공간에서 원점 주위는 linear space로 모델링이 가능하고 이것을 su(3) lie algebra라고 부른다. Su(3)는 exponentiation 함수를 통하여 SU(3)를 생성할 수 있기에 SU(3)의 generator라고 얘기한다. 아래에 그 유명한 겔만행렬을 나타낸다. SU(3)공간의 생성자(generator) 행렬에 해당한다. 보다시피, trace가 0이고 Hermitian 행렬들의 모든 가능한 조합을 표시한다. 표시하지 않은 부분은 모두 0인 3x3행렬이다.