Law of large numbers

 

 

Law of large numbers, 세상은 볼 수 없을 만큼 미세한 것들로, 셀수 없을 만큼 많은 수의 것들로 이루어져 있다. 우리가 바라보는 물리 현상들은 우리에게 주어진 에너지 스케일로 측정가능한 것들로 이루어진다. 실제로는 원자의 내부는 3개의 쿼크로 구성되어 있지만, 우리에게는 양성자, 중성자만이 모습을 드러낸다. 즉, 3개의 쿼크들의 합으로 구성된 composite particle들을 입자처럼 생각한다. 사실 50여년전만 하더라도 쿼크를 실체로 인정하지 않았다.

 

실제로 원자의 내부는 3개의 up/up/down up/down/down quark로 구성되어 있는가? 2000년대에 들면서 물리학자들은 그렇지 않다는 사실을 발견한다. 글루온 입자들의 비선형적 결합, 그로 인해 발생하는 수많은 쿼크들의 바다로 둘러 쌓여 있음을, 즉, 양성자의 내부는 수많은 쿼크들의 조합으로 구성되지만 그 결과적인 평균값들을 우리는 관측하는 것이다. 평균에서 제거되는 quark들을 우리는 virtual particle이라고 부른다.

 

만약 어떤 확률 변수, X=(x1+x2+x3+..xN)/N 이렇게 다수의 것들의 합으로 구성된다면, 그리고 N이 아주 크다면, X가 0.1이라는 거시적인 현상을 구성하는 미시적인 상태의 수는 무지막지하게 커진다. 수학에서 진짜 큰 수를 만나는 경우는 대부분은 combinatorics 문제들이다. 예를 들어, 1000x1000 화소의 화면이 표현할 수 있는 가지수는 얼마인가.. 정보량은 얼마인가라는 문제를 생각해 보면, 8bit로 한 화소를 표현할 때, 2^(8*1000000) 이라는 말도 안되는 숫자를 만나게 된다. 

 

이렇게 수많은 작은 것들로 구성되는 동역학계는 기본적으로 chaos system이며, 초기치의 미세한 변화에도, 예를 들면, 1억광년 떨어진 행성의 사는 곤충의 하품으로도, 향 후 진행되는 경로는 완전히 달라진다. 그러나, 그 합에 해당하는 숫자는 다시 그러한 미세한 것들, 사실은 그것보다 훨씬 큰 사건, 예를 들어, 초신성이 폭발하는 것 같은 사건에도, 큰 영향을 받지 않는다. 우리는 coarse grain 상태의 세상에 살기 때문이다. 아래는 나비효과로 설명되는 Lorentz attractor에 대한 plot이다. 

 

통계역학은 볼츠만이 기본 아이디어를 제공하고 Gibbs가 학문적으로 성숙시켰다. 볼츠만의 묘비에 S=k log (W)라는 비명이 있다. 과학사에 관심이 있는 분이라면, 그 비명의 수식을 볼츠만이 얘기하지 않은 것을 잘 알 것이다. 일전에 어떤 법칙의 최초 발견자와 명명자는 일치하지 않는다는 스티글러의 명명 법칙을 얘기한 적이 있다. 그것은 양자역학을 태동시킨 막스 플랑크가 자신의 방식으로 정리한 볼츠만 엔트로피 식이다. 플랑크는 볼츠만 분포를 활용하여 흑체 복사 문제를 깔끔하게 해결한다. 

 

볼츠만 분포란 무엇인가.. 평형 상태에 이르면 온도는 일정해 진다. 그러나, 그 상태에서도 입자들은 에너지를 가지고 있기에 에너지를 주변과 끊임없이 교환하게 된다. 어떤 입자들은 에너지 부자이고, 어떤 입자들은 벼락거지가 된 것들도 있을 것이다. 지나가는 한 입자를 딱 세워놓고, 너 에너지 얼마 가졌니라고 물어봤을때, 그 넘의 에너지는 얼마일까? 

 

너무 정보가 부족한 것이 아닌가.. 그 입자에 대한 정보는 하나도 없다. 입자들 간에 에너지를 어떻게 주고 받는지에 대한 정보도 거의 없다. 그러나, law of large numbers에 따르면 그러한 모든 detail들은 coarse grain하게 세상을 바라볼 때에는 전혀 중요하지 않다. 한넘 한넘이 어떤 확률 분포를 가지던, 그러한 것들이 떼를 이루면, 그들의 합은 정규분포, Gaussian distribution을 하게 된다. 그것을 central limit theorem(CLT, 중심 극한 정리)이라고 부르며, CLT가 통계역학을 이해하는 핵심 정리 중 하나이다. 선거 후, 1%미만의 샘플링으로도 비교적 정확한 당선자 예측이 가능한 원리이다. 

 

 

Boltzmann 분포는 어떤 입자의 에너지가 E라면 그 에너지 상태를 점유할 확률 p(E)=exp(-E/kT)라는 형태로 주어진다. 즉, 에너지가 크면 그 에너지 상태를 점유할 확률은 지수적으로 감소한다. 플랑크는 에너지의 양자화와 볼츠만 분포를 결합하여 흑체 복사 문제를 해결하고, 자연에 새겨진 코드를, 판도라의 상자를 세상에 노출시킨다.