푸앙카레 가설의 증명, 페렐만

위버맨쉬 (Ubermensch, 초인) 는 누구인가?

 

니체는 신을 죽이고 (어떤 신을 죽였을까나...), 그 허무의 심연에 초인을 두라고 한다. 초인이 되기 위해서는 3 단계를 거쳐야 한다. 그것은 낙타, 사자, 어린이의 단계이다. 낙타의 단계는 간단하계 얘기하면 체제의 무게를 그대로 묵묵히 지고가는 단계이다. 사자의 단계는 "내가 왜 이 무거운 것을 지고 가야해, 걍 싸워" 단계입니다. 이해가 됩니다. 마지막 단계는... "어린이" 이거 모지?

 

위상수학(topology) 혹은 대수 기하학(algebraic geometry)라는 수학이 있습니다. 우리는 선(1차원)을 그리고, 면(2차원)을 그리고, 입체(3차원)를 그립니다. 그러나, 4차원을 우리 머리속에 그릴 수가 없습니다. 우리는 오랜 진화의 과정에서 3차원만 인식이 가능하며 그것도 fact그대로가 아니라 뇌에서 인공적으로 합성한 형태로 정보를 조합하는 기능만 가지고 있습니다. 그러면 n차원 공간은 어떻게 생겼을까요? 푸앙카레라는 수학자가 위상수학을 만듭니다.

 

하버드 대학 수학자들이 "클레이 수학연구소"를 만들고 21세기에 수학계에 기여할 수 있는 7개의 문제를 제시합니다. 한 문제당 100만달러의 상금을 걸구요. 현재 7개의 문제 중 유일하게 푸앙카레 가설만이 증명이 되었습니다. 그 추측은 간단합니다. 

 

"3차원 공간의 모든 닫힌 폐곡선이 한점으로 모인다면 그 공간은 구의 형태이다"

(원래는 조금 더 복잡함다 ^^. 푸앙카레는 이 추측을 "이 책은 우리를 머나먼 곳으로 데려다 줄것이다"라고 책에 적습니다.). 그 이후로 많은 수학자들이 이것을 증명하려고 하다고 포기하고 "이거 맞기는 맞어?" 합니다 ^^.

 

토러스란 도형을 들어 보셨나요? 아래 그림처럼 보이는 도형입니다. 이것은 원을 먼저 하나 그리고, 그 원위의 모든 점 위에 다시 원을 그린 것입니다. 수학용어로는 S2 x S2 형태입니다. 토러스 표면의 모든 폐곡선은 한점으로 모을 수 있을까요? 생각해 보세요.

 

 

1966년 소련 레닌그라드에서 "페렐만"이란 수학자가 태어나죠. 14살에 수학올림피아드 만점을 받고 소련의 수학연구소에서 근무합니다. 미국의 스탠포드와 프린스턴 대학에서 교수 자리를 제안하지만 어머니를 부양해야 하고, 자신의 고향을 사랑하기에 거절합니다.

 

2002년 11월, 페렐만이 36세가 되던해에 인터넷에 이상한 논문(단 3페이지) 하나가 올라옵니다. arxiv라는 사이트인데 그것은 정식 저널도 아니고, 논문을 제출하기 전에 사람들이 그냥 올리는 사이트이고 제목도 푸앙카레를 전혀 암시하지 않았죠. 그 후, 예일대와 컬럼비아대에서 3년간 검증한 끝에 5백페이지의 보고서를 쓰고 그 증명이 옳다고 결론을 내리죠. 그리고, 

 

수학계의 노벨상, 필즈 메달이 있습니다. 40세이상이면 받지도 못하는 상이죠. 수학분야 이외에 이 메달을 수상한 유일한 물리학자가 "에드워드 위튼"이라는 현존 최고의 천재 물리학자이죠. 참고로 그 분이 교통사고를 당한 해에 초끈이론 분야의 논문이 격감했다는 ^^.

 

패렐만은 필즈 메달을 거부하고, 밀레니엄상도, 100만달러의 상금도 거절합니다. "나의 증명이 확실한 것으로 판명다면 그만이며 그 이상 다른 인정은 필요없다"면서 2006년 필즈 메달 수상을 거부합니다. 밀레니엄 상금도 자신은 이미 자신이 먹고 살기에 충분한 만큼 받고 있다고 거절합니다. 그리고 월 30만원정도의 돈으로 어머니와 같이 계속 연구소에서 근무하면서 살죠.

 

초인이란 누구일까요.. 신의 빈자리를 용기있게 자신만의 의미로 채워넣고, 흔들리지 않고 행동하는자 .. 페렐만 같은 자가 아닐까요?