프리드만 방정식

 

우주론을 이해하는 첫번째 방정식은 아인슈타인의 장방정식(Field equation)이다. 장 방정식은 공간에 물질이나 에너지가 존재할 때, 공간 자체가 어떻게 휘어지는 지를 기술하는 방정식이다. 리만 텐서, 리치 텐서, 우주 상수, 에너지모멘텀 텐서의 개념이 모두 포함되어 있다.

 

위의 장 방정식을 풀려면, 먼저 공간의 dynamics를 만드는 source 인 텐서 T가 주어져야 한다. 우주론에서 우주는 은하라는 점들이 마치, 액체 속 입자처럼 떠 돌아다니는 완전 유체 (perfect fluid)로 모델링된다. 이 경우, 에너지-모멘텀 텐서는 다음과 같이 주어진다.

 

아인슈타인의 장 방정식은 대칭성이 없이 해석적으로 푸는 것은 불가능하다. 4차원 시공간이므로 16개의 변수에 대한 비선형 연립 방정식을 풀어야 한다. Metric의 대칭성을 생각하더라도 10개의 연립 비선형 미분 방정식을 풀어야 한다는 것이다. 한 개 변수의 비선형 미분 방정식도 어려운데, 10개 변수에 대해서는 불가능하다.

 

따라서, 아인슈타인도, 이 겉보기만 아름다운 방정식의 쓸데가 어데 있을까 고민했지만, 그가 장 방정식을 발표하자 마자, Schwartz 는 포탄이 머리위를 날아다니는 전쟁의 와중에 원형 대칭을 이용하여 방정식을 쉽게 풀어버린다. 우주에 대해서도 마찬가지로 어떠한 대칭성에 관한 가정이 필요하다. 그 가정은 “우주는 아주 큰 규모에서는 특정한 방향성도, 물질 밀도의 차이도 없다는, 즉, homogeneous하고 isotropic하다”는 것이다. 이러한 가정하에서 4차원 시공간의 두 지점 간의 거리는 다음과 같은 FRW metric으로 표현할 수 있다.

 

위에서 k는 공간의 곡률을 표시한다. K가 +1이면 닫힌공간, 0이면 flat, -1이면 열린 공간이다. 사실 3차원 공간에 익숙한 우리가, 3차원 공간이 휘어져 있다고 생각하기는 쉽지 않다. 도대체 어느 축에 대해서 휘어져 있다는 말인가? 그러나 인간들은 고도의 추상적 사고가 가능하게 진화했으니, 수학적으로 휘어진 것을 표현할 수 있다. 

 

이제, 아인슈타인의 장 방정식을 위에서 주어진 모든 변수, 인자들을 대입하고서 풀면, 우주론에서 얘기하는 우주의 운동에 관한 방정식, Friedman equation을 얻는다. 과정은 복잡하니, 따라갈 필요가 없지만, 그 결과식은 알아둬도 괜찮을 것이다. 아래 수식들에서 마지막 2개의 방정식을 보통 프리드먼 방정식으로 부른다. 토론에서 이영욱 교수 자주 언급하는 방정식이다. 

 

위의 식에서 보듯이 w<-1/3 이면 우주는 영원히 팽창하게 되어 있다. 이렇게 팽창하게 만드는 에너지가 어디에서 나오는지 인간들이 잘 모르기에 dark energy (암흑에너지)라고 표현을 하게 되었다. 박창범/이영욱 교수의 KAOS 토론(암흑에너지는 존재하느냐 마느냐?. 사실 두 분의 토론 동영상을 보시면 실망할 것이다. 토론의 대상조차도 서로가 정확히 이해와 동의를 하지 못한 상태에서 토론을 하니, 걍 각자의 주장을 쏟아부을 뿐이다) 에서 박창범 교수가 w<-1/3임을 가르키는 여러 증거들을 하나의 그래프에 제시한다.

 

이제, 암흑에너지를 제외하고 위의 Friedmann 방정식을 약간 변형해 보면

 

와 같다.

 

빅뱅 이후에 복사 우위시대(RD, radiation dominated), 물질 우위 시대(MD, matter dominated), 암흑 에너지 우위의 시대(DD or VD, dark-energy or vacuum dominated era)가 차례데로 열렸다. 앞의 두 단계에서는 입자들이 마지막 단계에서는 공간이 우주의 주무대를 차지한다. RD 시대에 w=1/3이고, MD 시대에는 w=0, DD 시대에는 w=-1이다.

 

W=1/3을 위의 프리드먼 방정식에 대입하면, 아래식에서 보듯이, 우주의 반경의 4제곱분의 1로 감소한다.

 

부피가 a^3에 비례하는데 왜 1/a^4로 떨어질까? 이미 여러 번 그 이유를 얘기했다. 같은 방법으로 MD 시대에는 에너지 밀도가 부피에 반비례해서 떨어지고, DD시대에는 우주가 아무리 팽창해도 에너지 밀도는 동일하다. 그 에너지는 공간 자체에 스며들어 있다는 이상한, 참으로 이상한 얘기를 하고 있다.

 

박창범 교수는 w=-1/3의 수치를 동영상에서 얘기했지만, 많은 논문들은 아래에 있는 그림처럼 w=-1인 여러 증거그래프들을 제시하고 있다. 물론, 우리가 잘 모르는 어떤 gas가 있어서 압력과 에너지 밀도의 관계식이 w<-1/3을 만족한다면 (압력을 가하면 도리어 팽창하는 이상한 가스가 존재한다면), 그것또한 우주 팽창의 증거가 될 수 있으나, 현재의 관측 결과는 w=-1, 우주가 가속 팽창되고 있음을 얘기하고, 초신성 분석을 통해서 증거를 제시한 솔 펄머트, 애덤 리스, 브라이언 슈밋 3명이 2011년 공동으로 노벨물리학상을 수상한다. 가속 팽창하는 우주 공간, 현재 천문학이 가정하는 우주 공간을 de-sitter space라고 부른다.

 

 

오늘날 우주를 정밀하게 관측한 결과, 우주는 우리가 관측할 수 있는 한도내에서는 거의 flat하다는 것을 알았다. 만약 우주의 초기에 지금보다도 조금이라도 closed 되었다면 우주는 지금쯤 찌부러져서 떡져있을 것이고, 만약 조금이라도 open 되었다면 우주는 산산조각 흩어져서 은하도 별도 생기지 않았을 것이다. 우주의 초기에 10^-60의 초 정밀도로 우주는 평탄하게 탄생하였고 그것이 오늘날까지 유지되어 현재 우리가 숨을 쉴 수가 있다. 이것을 우주 평탄성 문제, flatness problem, fine tunning problem이라고 부른다.