정수론

정수론의 몇가지 내용을 살펴보자. 이전에 제가 낸 여러 정수론 관련 퀴즈의 답에 관한 이론적 근거들이 기술되어 있다. 내용은 조금 어려울 수 있지만, 못 쫓아올만한 내용은 하나도 없다. 부족하거나 더 궁금한 부분은 구글링을 하시면 될 것이다.

1. 홀수인 소수 p가 두 소수의 제곱의 합으로 표현될 때, p mod 4 = 1이다.

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2. 반대로, 어떤 소수 p mod 4 = 1 이면, 그 수는 두 소수의 제곱의 합으로 표현할 수 있다. 증명은 복잡하니 생략한다. 1과 2의 결론을 종합하면 어떤 2보다 큰 소수가 제곱수의 합으로 표현되려면 그 수는 반드시 4n+1의 형태여야 하며, 그러한 소수들은 모두 두 제곱수의 합으로 표시할 수 있다. 예를 들면, 5=1^2+2^2, 9=3^2+0^2, 13=2^2+3^2.

3. 만약 n, m 모두 두 제곱수의 합으로 표시되면, nm도 제곱수의 합으로 표시된다. 이 경우를 이전에 출제한 문제에 적용하면 아래와 같은 다양한 방법으로 65^2을 두 자연수의 제곱의 합으로 표시할 수 있다.

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이 논리를 여러 개의 변수의 경우로 확장하면 다음 관계식도 얻는다.

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4. 만약 어떤수가 다음과 같이 소인수 분해될 때, 모든 g_q가 짝수이면 아래의 수는 두 제곱수의 합으로 표현가능한다. 반대로 g_q가 홀수이면 불가능하다. 중요한 것은 인수 중 4로 나눠서 3이 남는 것이 차수가 홀수이냐 짝수이냐이다. 나머지는 중요하지 않다.

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예를 들면 n=2x5x7^2=140은 제곱수의 합으로 표현가능하며, n=2x5x7=70은 두 제곱수의 합으로 표현할 수 없다.

5. 만약 어떤 정수 n이 두 유리수의 제곱의 합으로 표시되면, 두 정수의 제곱의 합으로도 쓸 수 있다.

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6. 어떤 유리수 n/m이 2개의 유리수의 제곱합으로 표시되기 위한 필요충분조건은 nm이 두 제곱수의 합으로 표시될 때이다.

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따라서, 이전에 문제로 낸 (2/3)^2 은 두 제곱수의 합으로 표시할 수 없고( 6을 두 제곱수의 합으로 표시 불능), (2/37)^2 은 두 제곱수의 합으로 표시할 수 있다 (74=2x37이므로).

7. 어떤 유리수를 두 유리수의 제곱의 합으로 나타내는 방법은 정수의 경우와는 달리 아주 많은 방법이 가능할 것이다. 그러한 모든 조합은 몇 개가 있고, 그 조합을 어떻게 구할 수 있을 것인가? 정수론에 따르면, 만약 우리가 그 표현 중, 하나의 방법을 알고 있다면 (즉, h=s^2+t^2인, 두 유리수의 조합 하나를 알고 있다면) 모든 일반적인 표현(해)는 다음과 같은 이론에 따라 구할 수 있다. 증명은 생략한다.

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8. 피타고라스 정리를 변형하여 x^2+y^2=nz^2 의 일반적인 해를 구하는 문제를 생각해 보자. 예를 들면 x^2+y^2=2z^2 은 정수해가 존재하는가? X^2+y^z=3z^2은 정수해가 존재하는가? 전자의 경우는 정수해가 존재하고, 후자의 경우는 그러한 해가 존재하지 않는다. 전자의 경우는 2=1^2+1^2 즉 두 제곱수의 합으로 표시되는데 반해, 후자의 경우 n=3이 그렇게 표현할 수가 없기 때문이다.

만약 n=a^2+b^2이라면, x^2+y^2=nz^2의 일반적인 정수해는 어떻게 표현할 수 있을까? 답은 다음과 같다.

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n=1인 경우라면 a=1, b=0 혹은 그 반대의 경우이며, 이 경우에는 다음과 같은 절차에 따라 피타고라스 정리가 성립하는 모든 정수쌍을 찾을 수 있다.

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