정수론 미해결 문제

정수론에는 아직 해결되지 못한 수학적 문제들이 여러 개 있다. 그 중 하나가, congruent number problem이다. 만약 세 유리수 a,b,c가 피타고라스의 정리를 만족할 때, c^2=a^2+b^2 이면서, 그 도형의 넓이 S=ab/2 가 정수인 S가 존재할 것이다. 문제는, 어떤 정수 S가 주어졌을 때, 그것이 congruent number 인가? 이다. 이제까지 알려진 congruent number들은 OEIS A003273 수열에 해당한다. “5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29 …”, 생각보다 많다. 예를 들어, 5=(20/3,3/2,41/6)의 세 유리수로 이루어진 직각 삼각형의 넓이에 해당한다.

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만약 어떤 수 q가 congruent number이면, q=(a,b,c) 이니, 양변에 어떤수의 제곱수 n^2을 곱하면 n^2q 도 당연히 congruent number 일 것이다. 따라서, 우리는 모든 유리수들을 찾아볼 필요 없이 Q/Q^2 인 quotient group만 찾아보면 될 것이다. Q^2은 유리수의 제곱수들로 구성된 rational number group 이다.

어떤 수가 congruent number 인지 아닌지를 알아볼 수 있는 이론 중 Tunnell’s theorem (1983)이 있는데, 이것은 클레이 연구소 millennium problem중 하나로 와일스교수가 제시한 문제인 Birch and Swinnerton-Dyer conjecture에 기반하고 있다. 그 내용은, 어떤 정수 n이 짝수이면 아래의 집합 중 2A_n=B_n이 될 때, 홀수라면 2C_n=D_n이 될 때, 그 수 n이 congruent number이다. 이 정리는 어떤 수가 congruent nubmer인지 아닌지를 쉽게 판별하게 해 주기 때문에 중요성이 크다.

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타원곡선과 별 관련이 없어 보이는 이 문제는 실제로는 타원곡선과 밀접한 관련이 있다. 직각 삼각형의 세 변의 길이가 a,b,c(c^2=a^2+b^2)이고 면적이 d라고 하자. 만약 x=a(a-c)/2, y=a^2(c-a)/2 라고 두면, y^2=x^3-d^2x 를 만족한다. 어떻게 저렇게 x와 y를 만든 것인지는 모르겠지만, 대입하면 타원 곡선 방정식을 만족함은 금방 확인 가능하다. 직각 삼각형의 세변의 길이가 유리수이고, 그 면적이 정수인 수를 구하는 문제는 결국은 y^2=x^3-d^2x 인 모든 유리수 해를 구하는 문제와 동일한 문제가 된다. 타원곡선위의 유리해의 개수는 무한대이기에, 이 문제의 답도 무한개가 가능하다.