수학이론
군이론
existence_of_nothing
2022. 7. 30. 17:20
학부 수학 과목에서 많은 용어들을 만나며, 이것은 다른 수학 과목을 이해하는데 있어서 언어처럼 작용하기에 익숙해져야 한다.
선형대수학을 만나면, vector/vector space/rank/null, column, row space/kernel, cokernel/symmetric, orthogonal, unitary, projection, positive (semi) definite matrix /spectral factorization/eigen value, eigen vector, diagonalization, singular value/ LR, QR, SV decomposition/등 다양한 용어들을 접한다.
마찬가지로 현대 대수학에서는 group, ring, field, subgroup, normal subgroup, quotient group, splitting field, module, vector space, algebra, ideal, primary ideal, homomorphism, isomorphism, epimorphism/monomorphism등 다양한 용어들을 접한다. 이 중, group 관련 몇가지를 살펴보자.
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그룹은 일전에 얘기한데로 집합과 +-가 가능한 대수 구조이다. 정확한 수학적인 정의는
선형대수학을 만나면, vector/vector space/rank/null, column, row space/kernel, cokernel/symmetric, orthogonal, unitary, projection, positive (semi) definite matrix /spectral factorization/eigen value, eigen vector, diagonalization, singular value/ LR, QR, SV decomposition/등 다양한 용어들을 접한다.
마찬가지로 현대 대수학에서는 group, ring, field, subgroup, normal subgroup, quotient group, splitting field, module, vector space, algebra, ideal, primary ideal, homomorphism, isomorphism, epimorphism/monomorphism등 다양한 용어들을 접한다. 이 중, group 관련 몇가지를 살펴보자.
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그룹은 일전에 얘기한데로 집합과 +-가 가능한 대수 구조이다. 정확한 수학적인 정의는
|G|를 cardinality of a group G 라고 하며, |G|=4인 group은 아래 2가지 종류, Z4, K4만 가능하다. 오른쪽 그룹을 Klein 4 group 이라고 한다. 뫼비우스의 띠, Klein bottle은 한번쯤 들어봤을 것이다. 그리고, 오른쪽 예에서 보듯이 0,1,2,3을 다른 이름 {e,a,b,c}라고 불러도 그 대수적 구조는 동일하다. Isomorphism관계에 있다고 한다.
그룹 구조내에 별도의 그룹구조가 존재할 수 있다. 예를 들면 위의 K4그룹의 경우 {0,2}는 원래 그룹의 연산에 대해서 자기들끼리 닫혀있다. 이것을 subgroup이라고 부른다. {1,3}은 그렇지 않다.
Subgroup F가 0 혹은 G(전체그룹)이 아니라면 proper subgroup라고 부른다. 위에서 보면 S0={0,2}가 subgroup 이고, S1은 S0의 coset라고 부른다. Coset의 수학적 정의는 아래와 같이 원소 a에 H와 연산을 취해서 만든 집합이다. 아래에서 곱하기 처럼 표시되었으나 실제로 ah는 위의 예에서는 a+h에 해당한다.
앞서의 예를 다시 살펴보자. 이제, {0,2}을 하나의 원소 S0처럼, {1,3}을 또다른 하나의 원소 S1처럼 보면, {S0,S1}은 다시 원소 2개의 group처럼 보인다.
위에서 보면, S0와 S1 의 연산이 잘 정의되어 있다. 즉, S0의 어떤 원소를 대표로 뽑아서 S1의 어떤 원소와 연산을 하던, 그 결과는 S1에 속한다. 이 때, S0의 누구를 선택하던, S1의 누구를 선택하던 이 관계가 변하지 않는다. 이것을 well-defined 되어 있다고 얘기한다. 그리고, {S0, S1}=G/{0,2} 를 quotient group이라고 부른다. 그리고, coset들간의 연산에서 0의 역할을 하는 subgroup S0를 normal subgroup라고 부른다.
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그룹 G의 0이 아닌 원소 하나를 선택하여 계속 더하면, Z4의 경우, 1, 1+1=2, 1+1+1=3, 1+1+1+1=0 로, 전체 집합을 만들 수 있는 경우도 있다. 이러한 집합을 cyclic group 이라고 부르고, 지금 경우 1이 전체 원소를 생성하므로 이것을 generator라고 부르며, 이러한 generator가 유한개인 경우 그 그룹이 finitely generated 되었다고 한다. 예를 들어 정수 그룹 (Z,+)의 경우, 1개의 generator=1만 더하면 모든 원소들을 만들어내므로 Z=<1>로 표시하며, 이것은 1로 generated 된 그룹이라는 뜻이다.
앞서 예제의 Z4 group의 경우, 1과 3은 generator가 될 수 있지만, 2는 두번 더하면 0이므로 generator가 될 수 없다. 1과 3의 order=4인데, 반해 order(2)=2이기 때문이다. 따라서, Z4=<1> 혹은 <3>으로 쓸 수 있지만, <2>로는 쓸 수 없다.
그러면, 일반적인 그룹은 cycle group이냐? 그렇지 않다. 앞서 예제의 K4의 경우 0을 제외한 모든 원소들의 order가 2이므로 (자신을 두번 더하면 모두 0), cycle group이 아니다. 원소가 4개인 그룹은 cyclic group 인 Z4와 non-cyclic group인 K4의 두 종류가 존재한다. 그러나, K4의 경우도 {0,2}만 살펴보면 그들은 cyclie suggrup을 이룬다. 즉, 2를 두번 더하면 2이기에 <2>={0,2}를 생성한다. 그러면 모든 그룹에는 이렇게 그 내부에, 혹은 그 자신을 cyclic group으로 포함하느냐? 답은 Yes이다. 그룹 G가 있을 때, 그 안의 어떤 원소던 골라서 x, 2x, 3x,.. 하다보면 0을 만나게 되고, {x,2x,3x,…0}은 그 자체로 cyclic group을 이루기 때문이다.
그러면 어떤 그룹 G가 proper suggroup (non-trivial subgroup)을 가지지 않는 경우는 없는가? 있다. 앞서의 논의를 충분히 이해했다면, 이 경우는 G가 prime order의 cyclic group인 경우라는 것을 쉽게 짐작할 수 있을 것이다. 이 경우 G의 어떤 원소를 고르던 모두 full order이기 때문에, G보다 작은 cyclic group을 만들 수 없다.
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앞서의 예제에서 K4/{0,2}={S0,S1}를 quotient group이라고 부른다고 하였다. 즉, G=K4를 subgroup H={0,2}로 나눈 나머지에 해당하는 G/H가 그룹 구조를 이룬다. G의 원소의 수(cardinal number)를 G라고 하고, [G:H]를 {S0,S1}=2라고 할 때, [G:H]H=G 가 된다. 즉, coset들이 subgroup의 크기로 동일한 크기로 예쁘게 전체 그룹 G를 분할한다는 정리이다. 만약 K<H<G라면, 즉, G내에 subgroup H가, H내에 다시 K가 존재한다면, 이것들 간에는 [G:K]=[G:H][H:K]의 관계에 있게 된다. 이것을 Lagrange’s theorem이라고 부르며 라그랑지가 제시했지만 1801년 가우스, 1844년 Cauchy, 1861년 Jordan이 차례대로 증명한다.
이제, 다른 질문을 해보자. 만약 어떤 그룹 G의 내부에 proper subgroup H가 존재하는 경우 G/H는 항상 그룹이 되는가? 그렇지는 않다. bH coset에서 b를, cH coset 에서 c를 선택한 후, 두 수를 곱하면 (bc) coset에 속해야 group이라고 부를 수 있다. 즉, (bH)(cH)=(bc)H가 되어야 한다. 만약, group G, H가 abelian, 가환 그룹이라면 이것은 당연히 (bH)(cH)=b(Hc)H=bcHH=(bc)H로 문제가 없다.
그러나, 만약 G,H가 비가환 그룹이라면 Hc=cH라는 조건이 필요하다. 즉, left coset=right coset이 되어야 한다는 조건이 필요한데, 앞서의 예제는 이 조건을 만족하므로 G/H가 그룹이 된다. G의 subgroup 중, 이러한 조건을 만족하는 subgroup을 normal subgroup이라고 부른다.
이 개념을 module theory로 확장하면 이것이 바로 ideal 이라는 개념이며 Kummer가 UFD (unique factorization domain)의 개념을 연구하는 도중에 생각해낸 개념이다. 만약 H가 normal subgroup이라면 아래식에서 보듯이 G/H가 group구조를 이룬다.
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그룹 G의 0이 아닌 원소 하나를 선택하여 계속 더하면, Z4의 경우, 1, 1+1=2, 1+1+1=3, 1+1+1+1=0 로, 전체 집합을 만들 수 있는 경우도 있다. 이러한 집합을 cyclic group 이라고 부르고, 지금 경우 1이 전체 원소를 생성하므로 이것을 generator라고 부르며, 이러한 generator가 유한개인 경우 그 그룹이 finitely generated 되었다고 한다. 예를 들어 정수 그룹 (Z,+)의 경우, 1개의 generator=1만 더하면 모든 원소들을 만들어내므로 Z=<1>로 표시하며, 이것은 1로 generated 된 그룹이라는 뜻이다.
앞서 예제의 Z4 group의 경우, 1과 3은 generator가 될 수 있지만, 2는 두번 더하면 0이므로 generator가 될 수 없다. 1과 3의 order=4인데, 반해 order(2)=2이기 때문이다. 따라서, Z4=<1> 혹은 <3>으로 쓸 수 있지만, <2>로는 쓸 수 없다.
그러면, 일반적인 그룹은 cycle group이냐? 그렇지 않다. 앞서 예제의 K4의 경우 0을 제외한 모든 원소들의 order가 2이므로 (자신을 두번 더하면 모두 0), cycle group이 아니다. 원소가 4개인 그룹은 cyclic group 인 Z4와 non-cyclic group인 K4의 두 종류가 존재한다. 그러나, K4의 경우도 {0,2}만 살펴보면 그들은 cyclie suggrup을 이룬다. 즉, 2를 두번 더하면 2이기에 <2>={0,2}를 생성한다. 그러면 모든 그룹에는 이렇게 그 내부에, 혹은 그 자신을 cyclic group으로 포함하느냐? 답은 Yes이다. 그룹 G가 있을 때, 그 안의 어떤 원소던 골라서 x, 2x, 3x,.. 하다보면 0을 만나게 되고, {x,2x,3x,…0}은 그 자체로 cyclic group을 이루기 때문이다.
그러면 어떤 그룹 G가 proper suggroup (non-trivial subgroup)을 가지지 않는 경우는 없는가? 있다. 앞서의 논의를 충분히 이해했다면, 이 경우는 G가 prime order의 cyclic group인 경우라는 것을 쉽게 짐작할 수 있을 것이다. 이 경우 G의 어떤 원소를 고르던 모두 full order이기 때문에, G보다 작은 cyclic group을 만들 수 없다.
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앞서의 예제에서 K4/{0,2}={S0,S1}를 quotient group이라고 부른다고 하였다. 즉, G=K4를 subgroup H={0,2}로 나눈 나머지에 해당하는 G/H가 그룹 구조를 이룬다. G의 원소의 수(cardinal number)를 G라고 하고, [G:H]를 {S0,S1}=2라고 할 때, [G:H]H=G 가 된다. 즉, coset들이 subgroup의 크기로 동일한 크기로 예쁘게 전체 그룹 G를 분할한다는 정리이다. 만약 K<H<G라면, 즉, G내에 subgroup H가, H내에 다시 K가 존재한다면, 이것들 간에는 [G:K]=[G:H][H:K]의 관계에 있게 된다. 이것을 Lagrange’s theorem이라고 부르며 라그랑지가 제시했지만 1801년 가우스, 1844년 Cauchy, 1861년 Jordan이 차례대로 증명한다.
이제, 다른 질문을 해보자. 만약 어떤 그룹 G의 내부에 proper subgroup H가 존재하는 경우 G/H는 항상 그룹이 되는가? 그렇지는 않다. bH coset에서 b를, cH coset 에서 c를 선택한 후, 두 수를 곱하면 (bc) coset에 속해야 group이라고 부를 수 있다. 즉, (bH)(cH)=(bc)H가 되어야 한다. 만약, group G, H가 abelian, 가환 그룹이라면 이것은 당연히 (bH)(cH)=b(Hc)H=bcHH=(bc)H로 문제가 없다.
그러나, 만약 G,H가 비가환 그룹이라면 Hc=cH라는 조건이 필요하다. 즉, left coset=right coset이 되어야 한다는 조건이 필요한데, 앞서의 예제는 이 조건을 만족하므로 G/H가 그룹이 된다. G의 subgroup 중, 이러한 조건을 만족하는 subgroup을 normal subgroup이라고 부른다.
이 개념을 module theory로 확장하면 이것이 바로 ideal 이라는 개념이며 Kummer가 UFD (unique factorization domain)의 개념을 연구하는 도중에 생각해낸 개념이다. 만약 H가 normal subgroup이라면 아래식에서 보듯이 G/H가 group구조를 이룬다.
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