수학이론
환이론
existence_of_nothing
2022. 7. 30. 17:21
그룹 얘기를 했으니, 이제 Ring구조에 대해서 얘기할 차례이다. 원래는 한번에 다 올리려고 했지만, 내용이 길어져서 두번에 나누어서 정리해 본다.
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1. group, ring, division ring, field
그룹에 이어서 Ring이란 대수구조를 한번 정리해 보자. 일전에 간단히 개념을 소개한 데로, group은 {set, +-} 가 잘 정의된 대수이고, ring은 {set,+-x}까지가 잘 정의되는 구조이다. %가 정의되려면 0을 제외한 각 원소들이 x에 대한 역원을 가져야 한다. 즉, 일반적인 ring은 각 원소의 x에 대한 역원이 존재할 필요가 없다. 그러나, 모든 원소에 대해서 역원이 존재하는 경우, 그래서 {set,+-x/}까지의 사칙연산이 가능한 대수구조를 division ring이라고 하며, 특히 commutative division ring을 field(체)라고 부른다. (noncommutative) Division ring의 예는 quaternion이다. Quaternion은 이전에 설명한 데로 a+bi+cj+dk 로 허수에 해당하는 수가 (i,j,k) 3개 존재하고, ij=-ji=k, jk=-kh=i, ki=-ik=j, ijk=kk=-1 인 수로 가우스와 해밀턴이 연구한 수이다.
동일한 집합에 대해서 연산자를 다르게 정의하면 다른 ring 구조를 만들 수 있다. 재미있는 예를 하나 보자. S={a+b√(5), a,b∈Q} 는 (a,b)라는 유리수 쌍을 지정하면 하나의 수가 유일하게 결정되는 집합이다. 이 집합에 보통의 (+, x)연산을 하면 그 연산에 대해서 닫혀있고, 각 연산에 대한 항등원이 (0, 1)임을 쉽게 알 수 있다. 그러나, 만약 동일한 집합에 대해서 x연산을 (a+b√(5)(c+d√(5))=ac+bd√(5) 와 같이 정의해도 여전히 그 연산에 대해서 닫혀있고, 이 경우 x에 대한 항등원은 1이 아니라 1+√(5) 이다. 이 새로운 링을 S’라고 부르자.
보통, Z/nZ=Z/n=Zn 은 +와 x에 대해서 modular arithmetic 즉 더하고 곱한 후 n으로 나눈 나머지로 계산하는 연산을 가진 group, ring을 의미한다. 이것도 대수학에서 자주 등장하는 group/ring 이다.
Ring의 수학적 정의는 아래와 같다.
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1. group, ring, division ring, field
그룹에 이어서 Ring이란 대수구조를 한번 정리해 보자. 일전에 간단히 개념을 소개한 데로, group은 {set, +-} 가 잘 정의된 대수이고, ring은 {set,+-x}까지가 잘 정의되는 구조이다. %가 정의되려면 0을 제외한 각 원소들이 x에 대한 역원을 가져야 한다. 즉, 일반적인 ring은 각 원소의 x에 대한 역원이 존재할 필요가 없다. 그러나, 모든 원소에 대해서 역원이 존재하는 경우, 그래서 {set,+-x/}까지의 사칙연산이 가능한 대수구조를 division ring이라고 하며, 특히 commutative division ring을 field(체)라고 부른다. (noncommutative) Division ring의 예는 quaternion이다. Quaternion은 이전에 설명한 데로 a+bi+cj+dk 로 허수에 해당하는 수가 (i,j,k) 3개 존재하고, ij=-ji=k, jk=-kh=i, ki=-ik=j, ijk=kk=-1 인 수로 가우스와 해밀턴이 연구한 수이다.
동일한 집합에 대해서 연산자를 다르게 정의하면 다른 ring 구조를 만들 수 있다. 재미있는 예를 하나 보자. S={a+b√(5), a,b∈Q} 는 (a,b)라는 유리수 쌍을 지정하면 하나의 수가 유일하게 결정되는 집합이다. 이 집합에 보통의 (+, x)연산을 하면 그 연산에 대해서 닫혀있고, 각 연산에 대한 항등원이 (0, 1)임을 쉽게 알 수 있다. 그러나, 만약 동일한 집합에 대해서 x연산을 (a+b√(5)(c+d√(5))=ac+bd√(5) 와 같이 정의해도 여전히 그 연산에 대해서 닫혀있고, 이 경우 x에 대한 항등원은 1이 아니라 1+√(5) 이다. 이 새로운 링을 S’라고 부르자.
보통, Z/nZ=Z/n=Zn 은 +와 x에 대해서 modular arithmetic 즉 더하고 곱한 후 n으로 나눈 나머지로 계산하는 연산을 가진 group, ring을 의미한다. 이것도 대수학에서 자주 등장하는 group/ring 이다.
Ring의 수학적 정의는 아래와 같다.
때로는 x에 대한 항등원이 존재하지 않는 대수 구조체도 생각할 수 있는데, 이것을 nonunital ring이라고 부른다. 예를 들면 2Z={…-4, -2, 0, 2, 4,…}의 경우는 다른 모든 조건은 만족시키지만 항등원 1이 존재하지 않기에 이것이 nonunital ring의 한 종류이다. 보통은 ring을 말하면 대부분은 ring with unity를 의미한다.
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2. integral domain
(a≠0)∈R (ring) 에서 ∃b≠0, ab=0이면, 즉 링의 원소 a에 0이 아닌 원소를 곱해서 0을 만들 수 있다면 a를 zero divisor라고 부른다. 만약, 그러한 zero divisor가 없다면, 즉 ab=0이면 반드시 a 혹은 b중 하나는 0이라면 그러한 ring을 integral domain이라고 부른다. Z, Q, R, C 모두 I.D.이다. Z/n=Zn={0,1,…,n-1} 즉 정수를 n으로 나눈 나머지quotient ring의 경우 n이 소수(prime number)이면 I.D.이다.
이제 앞서 설명한 S와 S’는 각각 integral domain인지 살펴보자. S의 경우 I.D 이지만, S’의 경우 1x√(5)=1x0 + 0x1√(5)=0이 되어, 0이 아닌 두 원소를 곱해서 0을 만들 수 있기에 I.D.가 아니다. Z/5Z는 I.D.이지만, Z/6Z는 I.D.가 아니다.
Q1. Q[√(5)]={a+b√(5), a,b∈Q} 는 I.D.인가? 아니다.
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3. Units and fields
a,b∈R, ab=ba=1 인 a,b가 존재하면 a를 unit of R (or invertible in R) 이라고 하고, b를 inverse of a라고 한다. set of all units of R을 R^x혹은 R*이라고 표시한다. Unity는 항상 unit이지만, unit은 항상 unity인 것은 아니다. 즉, unity는 항등원이고, unit은 다른 원소를 곱해서 항등원을 만들 수 있는 원소를 의미한다. 유리수링 Q의 unit은 0을 제외한 어떤 원소이든 가능하다. 정수링 Z의 unit은 {1, -1} 2개만 가능하다. Mn=nxn 행렬로 이루어진 링의 경우, invertible matrix 모두가 unit이다. Mn*를 GL(n,R) 이라고 부른다.
Z/nZ=Zn의 unit는 {a: gcd(n,a)=1}의 원소, 즉, n과 coprime인 원소들이다. 예를 들면 Z/4Z=Z4의 경우 gcd(a,4)=1인 {1,3} 은 unit이 될 수 있지만, 2는 unit될 수 없다. Mod 4연산에서 2에 어떤 수를 곱해서 1을 만들 수는 없기 때문이다.
Ring R에서 unit들만 골라놓은 집합 (R*, x, 1)은 (multiplicative) group을 이룬다. unit 들만 모아 놓았기에 때문에 모든 원소들의 역원도 그 집합안에 존재하기 때문이다. 만약 R이 가환 링(commutative ring)이고 0≠1이며, 0을 제외한 모든 원소가 unit이라면 그러한 R은 field이다. 예를 들면, Q, R, C는 Field이지만, Z는 field가 아니다. 이전에 예를 든 S={a+b√(5)}는 모든 수의 역수가 존재하고, commutative ring이므로 field이다. Quaternion H는 사칙연산이 가능하지만, 곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하지 않기에 field가 아니고 division ring 혹은 skew field이다. Zn=Z/nZ는 n이 소수인 경우에만 field이다.
Field이면 I.D.이다. ab=0이면 a의 역수를 양변에 곱하면 당연히 b=0이 되어 두수를 곱해서 0이면 두 수중 한 수는 반드시 0이기 때문이다. 역은 성립하는가? I.D.이면 field인가? 당연히 아니다. 정수 집합 Z는 I.D.이지만 n의 역수인 1/n이 정수가 아니기에 field가 아니다. 그런데 I.D.이면 field가 되는 경우가 있다. #(I.D.)< ∞, 즉, 원소의 개수가 finite한 경우이다.
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2. integral domain
(a≠0)∈R (ring) 에서 ∃b≠0, ab=0이면, 즉 링의 원소 a에 0이 아닌 원소를 곱해서 0을 만들 수 있다면 a를 zero divisor라고 부른다. 만약, 그러한 zero divisor가 없다면, 즉 ab=0이면 반드시 a 혹은 b중 하나는 0이라면 그러한 ring을 integral domain이라고 부른다. Z, Q, R, C 모두 I.D.이다. Z/n=Zn={0,1,…,n-1} 즉 정수를 n으로 나눈 나머지quotient ring의 경우 n이 소수(prime number)이면 I.D.이다.
이제 앞서 설명한 S와 S’는 각각 integral domain인지 살펴보자. S의 경우 I.D 이지만, S’의 경우 1x√(5)=1x0 + 0x1√(5)=0이 되어, 0이 아닌 두 원소를 곱해서 0을 만들 수 있기에 I.D.가 아니다. Z/5Z는 I.D.이지만, Z/6Z는 I.D.가 아니다.
Q1. Q[√(5)]={a+b√(5), a,b∈Q} 는 I.D.인가? 아니다.
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3. Units and fields
a,b∈R, ab=ba=1 인 a,b가 존재하면 a를 unit of R (or invertible in R) 이라고 하고, b를 inverse of a라고 한다. set of all units of R을 R^x혹은 R*이라고 표시한다. Unity는 항상 unit이지만, unit은 항상 unity인 것은 아니다. 즉, unity는 항등원이고, unit은 다른 원소를 곱해서 항등원을 만들 수 있는 원소를 의미한다. 유리수링 Q의 unit은 0을 제외한 어떤 원소이든 가능하다. 정수링 Z의 unit은 {1, -1} 2개만 가능하다. Mn=nxn 행렬로 이루어진 링의 경우, invertible matrix 모두가 unit이다. Mn*를 GL(n,R) 이라고 부른다.
Z/nZ=Zn의 unit는 {a: gcd(n,a)=1}의 원소, 즉, n과 coprime인 원소들이다. 예를 들면 Z/4Z=Z4의 경우 gcd(a,4)=1인 {1,3} 은 unit이 될 수 있지만, 2는 unit될 수 없다. Mod 4연산에서 2에 어떤 수를 곱해서 1을 만들 수는 없기 때문이다.
Ring R에서 unit들만 골라놓은 집합 (R*, x, 1)은 (multiplicative) group을 이룬다. unit 들만 모아 놓았기에 때문에 모든 원소들의 역원도 그 집합안에 존재하기 때문이다. 만약 R이 가환 링(commutative ring)이고 0≠1이며, 0을 제외한 모든 원소가 unit이라면 그러한 R은 field이다. 예를 들면, Q, R, C는 Field이지만, Z는 field가 아니다. 이전에 예를 든 S={a+b√(5)}는 모든 수의 역수가 존재하고, commutative ring이므로 field이다. Quaternion H는 사칙연산이 가능하지만, 곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하지 않기에 field가 아니고 division ring 혹은 skew field이다. Zn=Z/nZ는 n이 소수인 경우에만 field이다.
Field이면 I.D.이다. ab=0이면 a의 역수를 양변에 곱하면 당연히 b=0이 되어 두수를 곱해서 0이면 두 수중 한 수는 반드시 0이기 때문이다. 역은 성립하는가? I.D.이면 field인가? 당연히 아니다. 정수 집합 Z는 I.D.이지만 n의 역수인 1/n이 정수가 아니기에 field가 아니다. 그런데 I.D.이면 field가 되는 경우가 있다. #(I.D.)< ∞, 즉, 원소의 개수가 finite한 경우이다.
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4. Product ring
여러 개의 그룹, 링, 필드가 있을 때, 그들의 direct product로 새로운 대수 구조를 정의할 수 있다. 두 개의 링 R, S가 있을 때, 그들의 cartesian product는 RxS={(r,s), r∈R, s∈S} 인데, 더하기는 각 원소들끼리의 더하기 (r,s)+(r’,s’)=(r+r’,s+s’)로, 곱하기도 (r,s)x(r’,s’)=(rr’,ss’) 로, zero와 unity도 각 링의 (0,0)(1,1)로 정의하면 이것을 direct product of R and S라고 말한다. 이것이 링 구조임은 정의대로 쉽게 증명할 수 있다. 이 과정을 여러 번 반복하여 ∏Rm 라는 링을 만들 수도 있다. 예를 들면 Z^3=ZxZxZ 는 정수 3쌍을 연결한 새로운 링이다. 이것은 I.D. 인가? 예를 들면 (0,1,0)x(1,0,0)=(0,0,0)=0, 즉 0이 아닌 두 원소를 곱해서 0을 만들 수 있기에 아니다. 이제complex number 대수인 C를 RxR로 생각할 수 있는가? 아니다.
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5. Ideals and Kernels
f: R→S 를 ring morphism이라고 하자. 이때 f의 kernel은 0으로 R의 원소들 중 0으로 mapping되는 것들의 집합을 의미한다. 즉, ker(f)={a∈R: f(a)=0} 이다. 예를 들면 f:Z→Z/n, f(x)=x mod n이라면 ker(f)=nZ={multiple of n∈Z} 이다. Ker(f)= Φ 이면 f는 injective, im(f)=S이면 f를 surjective, injective+surjective (전단사)일 때 bijective라고 한다.
Ideal은 일전에 얘기한데로 group이론에서 normal subgroup의 역할을 하는 대수 구조이다. Normal suggroup H가 정의된 이유는 G/H 즉 quotient subgroup을 만들기 위해서 였고, 마찬가지로 Ideal 을 얘기하는 이유는 R/I 로 quotient ring을 만들기 위함이다. 수학적 정의는
4. Product ring
여러 개의 그룹, 링, 필드가 있을 때, 그들의 direct product로 새로운 대수 구조를 정의할 수 있다. 두 개의 링 R, S가 있을 때, 그들의 cartesian product는 RxS={(r,s), r∈R, s∈S} 인데, 더하기는 각 원소들끼리의 더하기 (r,s)+(r’,s’)=(r+r’,s+s’)로, 곱하기도 (r,s)x(r’,s’)=(rr’,ss’) 로, zero와 unity도 각 링의 (0,0)(1,1)로 정의하면 이것을 direct product of R and S라고 말한다. 이것이 링 구조임은 정의대로 쉽게 증명할 수 있다. 이 과정을 여러 번 반복하여 ∏Rm 라는 링을 만들 수도 있다. 예를 들면 Z^3=ZxZxZ 는 정수 3쌍을 연결한 새로운 링이다. 이것은 I.D. 인가? 예를 들면 (0,1,0)x(1,0,0)=(0,0,0)=0, 즉 0이 아닌 두 원소를 곱해서 0을 만들 수 있기에 아니다. 이제complex number 대수인 C를 RxR로 생각할 수 있는가? 아니다.
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5. Ideals and Kernels
f: R→S 를 ring morphism이라고 하자. 이때 f의 kernel은 0으로 R의 원소들 중 0으로 mapping되는 것들의 집합을 의미한다. 즉, ker(f)={a∈R: f(a)=0} 이다. 예를 들면 f:Z→Z/n, f(x)=x mod n이라면 ker(f)=nZ={multiple of n∈Z} 이다. Ker(f)= Φ 이면 f는 injective, im(f)=S이면 f를 surjective, injective+surjective (전단사)일 때 bijective라고 한다.
Ideal은 일전에 얘기한데로 group이론에서 normal subgroup의 역할을 하는 대수 구조이다. Normal suggroup H가 정의된 이유는 G/H 즉 quotient subgroup을 만들기 위해서 였고, 마찬가지로 Ideal 을 얘기하는 이유는 R/I 로 quotient ring을 만들기 위함이다. 수학적 정의는
이다. 즉, ideal 집합의 왼쪽이나 오른쪽에 ring의 어떤 원소를 곱해도 그 집합을 벗어나지 못할 때, 그것을 링의 ideal이라고 부른다. 예를 들면 정수에서 0의 좌측에 x를 곱해도 우측에 x를 곱해도 여전히 0인 것을 상상하면 된다. Ideal은 (I,+,0)에 대해서 R의 subgroup 을 형성한다.
(1). Ring morphism f: R→S에 대해 ker(f)는 R의 ideal 이다. 연습삼아 증명해 보면,
(1). Ring morphism f: R→S에 대해 ker(f)는 R의 ideal 이다. 연습삼아 증명해 보면,
(2). u∈R 에 대해 {ur r∈R} 을 multiples of u (in R)이라고 하며, 이렇게 R의 원소 하나에 대해서 R의 모든 원소를 곱하여 만든 ideal을 principal ideal 이라고 부른다. 즉, generator가 1개인 ideal을 의미한다. 그러한 집합이 ideal 임은 간단히 보일 수 있으므로 생략. 예를 들면 짝수의 집합인 2Z는 u=2에 R=정수를 곱하여 Z2의 모든 원소들을 만들 수 있으므로 principal ideal이다. R자체도 1R=R이므로 principal ideal이다. R=Z(x)는 principle ideal이지만, 상수항이 짝수인 I⊂Z(x) 는 principle ideal이 아니다. 마찬가지로 유리계수 다변수 다항식 Q[x,y]도 ideal이지만 principle ideal은 아니다.
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6. Quotient ring, equivalence class
우리가 미분 방정식을 푼다고 가정하자. 예를 들면 y’+2y=2의 해를 푼다고 하자. 1개의 답은 아주 간단히 찾을 수 있다. y=1을 대입하면 답이다. 그러나, 모든 답을 찾으라고 하면? 먼저 y’+2y=0 인 homogeneous equation을 푼다. 이것은 f(y)=y’+2y 라는 함수의 ker에 해당한다. 그러면 y=Cexp(-2x) 라는 homogeneous solution, 혹은 kernel을 구한다. 그 개수는 C의 개수만큼이므로 무한개이다. 그러면 모든 답, general solution은 1+Cexp(-2x) 로 역시 무한개가 가능하다.
위의 문제는 f(y)=2, 즉 2에 mapping 되는 y 집합을 구하는 문제인데, 그 해가 무한개이다. 그러나, 그들은 모두 solution이기에 한 뭉텅이로 생각할 수 있다. 마찬가지로 f(y)=3에 해당하는 해도 한 뭉텅이일 것이다. 그들 전체를 하나의 숫자처럼 보는 개념이 equivalence이다. 예를 들면 (2)=2+ker(f), (3)=3+ker(f)로 (2)와 (3)은 집합이지만 마치 하나의 숫자처럼 여겨진다. 즉, (2)+(3)은 그 equivalence class 내에 어떤 것을 골라서 더해도 더한 결과는 (5)에 속하기를 원한다. 이것은 다음과 같은 정리들로 요약된다.
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6. Quotient ring, equivalence class
우리가 미분 방정식을 푼다고 가정하자. 예를 들면 y’+2y=2의 해를 푼다고 하자. 1개의 답은 아주 간단히 찾을 수 있다. y=1을 대입하면 답이다. 그러나, 모든 답을 찾으라고 하면? 먼저 y’+2y=0 인 homogeneous equation을 푼다. 이것은 f(y)=y’+2y 라는 함수의 ker에 해당한다. 그러면 y=Cexp(-2x) 라는 homogeneous solution, 혹은 kernel을 구한다. 그 개수는 C의 개수만큼이므로 무한개이다. 그러면 모든 답, general solution은 1+Cexp(-2x) 로 역시 무한개가 가능하다.
위의 문제는 f(y)=2, 즉 2에 mapping 되는 y 집합을 구하는 문제인데, 그 해가 무한개이다. 그러나, 그들은 모두 solution이기에 한 뭉텅이로 생각할 수 있다. 마찬가지로 f(y)=3에 해당하는 해도 한 뭉텅이일 것이다. 그들 전체를 하나의 숫자처럼 보는 개념이 equivalence이다. 예를 들면 (2)=2+ker(f), (3)=3+ker(f)로 (2)와 (3)은 집합이지만 마치 하나의 숫자처럼 여겨진다. 즉, (2)+(3)은 그 equivalence class 내에 어떤 것을 골라서 더해도 더한 결과는 (5)에 속하기를 원한다. 이것은 다음과 같은 정리들로 요약된다.
선형대수학의 fundamental theorem of linear algebra에 익숙하다면 위의 내용은 어느 정도 익숙할 것이다.
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7. Operations on ideals
어떤 링 R의 두개의 ideal I, J가 있을 때, I+J={i+j i∈I,j∈J} 와 IJ={ all finite sums of (I,J)-products}, (I,J) product={i∙j i∈I,j∈J} 를 정의할 수 있다. I+J와 달리 IJ가 가능한 모든 product 조합의 합으로 정의하는 이유는, 이렇게 해야 IJ가 덧셈에 대해서 닫혀있고 따라서 ideal이 될 수 있기 때문이다. 이제 다음과 같은 ideal arithmetic을 얘기할 수 있다.
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7. Operations on ideals
어떤 링 R의 두개의 ideal I, J가 있을 때, I+J={i+j i∈I,j∈J} 와 IJ={ all finite sums of (I,J)-products}, (I,J) product={i∙j i∈I,j∈J} 를 정의할 수 있다. I+J와 달리 IJ가 가능한 모든 product 조합의 합으로 정의하는 이유는, 이렇게 해야 IJ가 덧셈에 대해서 닫혀있고 따라서 ideal이 될 수 있기 때문이다. 이제 다음과 같은 ideal arithmetic을 얘기할 수 있다.
이제 정수 ring에 대해서 적용해 보면
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8. Chienese remainder theorem for integer ring
Ideal을 도입한 이유는 여러 번 얘기했지만, 결국은 equivalence class들에 속하는 모든 원소들을 하나의 수처럼 보자는 것이었다. 이렇게 ideal을 정의하면, quotient ring에 대해서, 마치 그들이 일반적인 수인것처럼 연산을 할 수도 있고, 아래에 있는 것처럼 중국인 나눗셈 정리를 ring에 대해서도 얘기할 수 있다. 증명은 생략..
8. Chienese remainder theorem for integer ring
Ideal을 도입한 이유는 여러 번 얘기했지만, 결국은 equivalence class들에 속하는 모든 원소들을 하나의 수처럼 보자는 것이었다. 이렇게 ideal을 정의하면, quotient ring에 대해서, 마치 그들이 일반적인 수인것처럼 연산을 할 수도 있고, 아래에 있는 것처럼 중국인 나눗셈 정리를 ring에 대해서도 얘기할 수 있다. 증명은 생략..
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