수학이론
호포토피
existence_of_nothing
2022. 7. 30. 17:23
1. Homotopy
사면체(혹은 육면체, 팔면체..)와 구와 위상동형이다. 그들은 전혀 모양이 다른데, 어떻게 동형인가? 그 말을 얘기하려면 위상적으로 동형이라는 말의 의미를 명확히해야 할 것이다. 우리가 사면체를 적당히 주물럭하면 구를 만들 수 있다. 그러나 구와 도너츠는 위상 도형이 아니다. 구를 적당히 주물럭하면 도너츠를 만들수 있지 않나? 적당히는 어떤 의미인가? 사면체를 X, 구를 Y라고 하고, f:X→Y인 continuous function f가 존재하면 X~Y, X is homotopic to Y라고 부른다.
아래 그림에서 왼쪽은 가운데에 구멍이 있고, 오른쪽은 없다. 오른쪽에서loop β를 연속적으로 변형하여 α를 만들 수 있고, 더욱 변형하면 한 점으로 만들고 다시 연속적으로 변형하면 γ를 만들수 있지만, 왼쪽에서 loop α를 변형하여 한점으로 만들수 없고, 따라서 β로도 변형할 수 없다. 따라서, 오른쪽 공간에서 공간에서 α ~ β이지만, 왼쪽 공간에서는 그렇지 않다.
사면체(혹은 육면체, 팔면체..)와 구와 위상동형이다. 그들은 전혀 모양이 다른데, 어떻게 동형인가? 그 말을 얘기하려면 위상적으로 동형이라는 말의 의미를 명확히해야 할 것이다. 우리가 사면체를 적당히 주물럭하면 구를 만들 수 있다. 그러나 구와 도너츠는 위상 도형이 아니다. 구를 적당히 주물럭하면 도너츠를 만들수 있지 않나? 적당히는 어떤 의미인가? 사면체를 X, 구를 Y라고 하고, f:X→Y인 continuous function f가 존재하면 X~Y, X is homotopic to Y라고 부른다.
아래 그림에서 왼쪽은 가운데에 구멍이 있고, 오른쪽은 없다. 오른쪽에서loop β를 연속적으로 변형하여 α를 만들 수 있고, 더욱 변형하면 한 점으로 만들고 다시 연속적으로 변형하면 γ를 만들수 있지만, 왼쪽에서 loop α를 변형하여 한점으로 만들수 없고, 따라서 β로도 변형할 수 없다. 따라서, 오른쪽 공간에서 공간에서 α ~ β이지만, 왼쪽 공간에서는 그렇지 않다.
X가 위상공간이고, I=[0,1] 일때, 연속인 사상(map) α:I→X, α(0)=x0, α(1)=x1이면 이것을 x0에서 x1으로의 path라고 부르고, 만약 x0와 x1이 같으면 이것을 loop 이라고 부른다. 두개의 path α, β 가 있고 α(1)=β(0) 라면, (α * β)(s)= α(2s) for 0<=0<=0.5, β (2s) for for 0.5<=0<=1 과 같이 정의하여 2개의 path를 연결하는 새로운 path를 만들 수 있고(*를 concatenation 연산이라고 하자), α^-1(s)= α(1-s)로 시작과 끝점을 바꾼 path를 만들 수 있다. 앞에서 두 경로가 연속적인 변환관계에 있을 때 그 둘이 equivalence 관계에 있다고 얘기했다. 그 얘기를 위상학에서는 두 경로 사이에 homotopy F가 존재한다고 얘기한다. 그림으로 나타내면 아래와 같고, 그 개념을 이해하는데는 별 어려움이 없다.
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2. Homeomorphic vs Homotopy
만약 bijective (surjective and injective) continuous map f: X → Y, g=f^-1 : Y → X 가 존재하면 그러한 f를 homeomorphism (위상동형사상) 이라고 부르고, X ~ Y를 homeomorphic이라고 하며 그러한 것들을 다 모으면 homeomorphism class라고 불린다. 아래의 도형들은 모두 homeomorphic하며, 공통점은 구멍의 수가 모두 1개, 즉 구멍의 수를 보존한다는 것이다.
이제, 아래를 살펴보면, 이것들은 homeomorphic 하지 않다. 예를 예를 들면 가운데 있는 원에서 가시를 없애려면, 가시들이 모두 한점에 mapping되어야 하기에 injective 하지 않기 때문이다. 그러나, 아래의 것들도 구멍의 개수는 동일하게 보존한다. 즉, 반드시 homeomorphism이 아니더라도, 구멍의 개수를 보존하는 좀 더 광의의 개념의 map이 존재한다는 것이다 (homotopical equivalence).
위에서 가장 오른쪽 원과 실린더의 관계를 살펴보자. 실린더의 표면을 X = S1 x I, 원을 Y=X1이라고 하자. 이제 f: X → Y, f(x,y,z)=(x,y), g: Y → X , g(x,y)=(x,y,0) 와 같이 정의하면 이것들은 continuous map이면서 f o g : Y → Y, f o g(y)=y, g o f : X → X, g o f(x)=x 이지만, 각 f와 g는 homeomorphism은 아니다.
두 위상 공간 X와 Y사이에 위의 관계를 만족하는 위와 같은 조건의 f 와 g가 존재하는 경우, X~Y는 homotype이 같다고 얘기하고, f와 g는 homotopy equivalence, f는 g의 homotopy inverse라고 한다. X와 Y가 homeomorphic이면 homotopy type이 동일하지만, 그 반대는 아니다 (앞서의 그림을 떠 올리면 됨). 그러나 그 모두에서 구멍의 개수(혹은 손잡이의 수)는 보존된다.
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3. Homotopy group, Fundamental group
위상공간 X의 한점(base point) x0 에서 homotopy 관계에 있는 모든 loop들을 모으면 그들은 homotopy equivalence set혹은 class를 이룬다. 그 set에 앞서 정의한 concatenation 연산 * 를 그 집합의 두 원소(path)들 간의 연산을 [α]*[β]=[α*β] 로 2개의 loop을 연결하는 형태로 정의하면 π(X,x0)라는 fundamental group을 이룬다 (실제 그들이 group을 이룸은 증명을 해야 하지만 skip한다). 아래 원들의 중심을 x0라고 하면 그들은 모두 fundamental group 의 원소들이다. 아래 그림을 보자. 결국 구멍을 * 연산으로 1바퀴, 2바퀴,… 이렇게 감는 것이 가능하므로 π(X,x0)=Z 라는 것을 추측할 수 있고, 결국은 구멍의 개수를 세는 것과 비슷하다는 것을 알 수 있다. 구멍의 수와 마찬가지로 Fundamental group도 homotopy(homeomorphic에 대해서도 마찬가지) invariant 이다.
두 위상 공간 X와 Y사이에 위의 관계를 만족하는 위와 같은 조건의 f 와 g가 존재하는 경우, X~Y는 homotype이 같다고 얘기하고, f와 g는 homotopy equivalence, f는 g의 homotopy inverse라고 한다. X와 Y가 homeomorphic이면 homotopy type이 동일하지만, 그 반대는 아니다 (앞서의 그림을 떠 올리면 됨). 그러나 그 모두에서 구멍의 개수(혹은 손잡이의 수)는 보존된다.
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3. Homotopy group, Fundamental group
위상공간 X의 한점(base point) x0 에서 homotopy 관계에 있는 모든 loop들을 모으면 그들은 homotopy equivalence set혹은 class를 이룬다. 그 set에 앞서 정의한 concatenation 연산 * 를 그 집합의 두 원소(path)들 간의 연산을 [α]*[β]=[α*β] 로 2개의 loop을 연결하는 형태로 정의하면 π(X,x0)라는 fundamental group을 이룬다 (실제 그들이 group을 이룸은 증명을 해야 하지만 skip한다). 아래 원들의 중심을 x0라고 하면 그들은 모두 fundamental group 의 원소들이다. 아래 그림을 보자. 결국 구멍을 * 연산으로 1바퀴, 2바퀴,… 이렇게 감는 것이 가능하므로 π(X,x0)=Z 라는 것을 추측할 수 있고, 결국은 구멍의 개수를 세는 것과 비슷하다는 것을 알 수 있다. 구멍의 수와 마찬가지로 Fundamental group도 homotopy(homeomorphic에 대해서도 마찬가지) invariant 이다.
만약 위상공간 X의 두 점 x0와 x1사이를 연결하는 path α 가 존재하면 그 둘은 arcwise connected라고 부른다. 이 때, π(X,x0) ~ π(X,x1) 즉 각 점의 fundamental group 간에는 isomorphism이 존재한다. 만약 두 개의 위상 공간 X, Y가 동일 homotopy type이면, f: X → Y 에서 π(X,x0) = π(Y,f(x0)) 이다. 즉, 그 두 공간에서 fundamental group 들이 보존된다.
D2는 filled circle, D3는 filled sphere, S1 은 1차원 원, S2는 D3의 표면, S3는 4차원 초구의 표면을 기술하는 공간이다. 이제, D2 나 D3같은 공간은 우리가 조심스럽게(continuous) 변형하면 한점으로 만들 수 있다. 즉, D3 can be contracted to a point. 이것을 수학적으로 얘기하기 위하여 몇가지 정의를 살펴보자. 위상 공간 X에 연속적인 변형, homotopy를 가하여 한점으로 만들 수 있을 때, 그 위상공간 X가 contractible이라고 한다. 예를 들면 Rn은 contraction H(x,t)=tx 에 의해서 0으로 contractible하다. 또한 모든 convex subset of Rn도 마찬가지이다.
D2는 filled circle, D3는 filled sphere, S1 은 1차원 원, S2는 D3의 표면, S3는 4차원 초구의 표면을 기술하는 공간이다. 이제, D2 나 D3같은 공간은 우리가 조심스럽게(continuous) 변형하면 한점으로 만들 수 있다. 즉, D3 can be contracted to a point. 이것을 수학적으로 얘기하기 위하여 몇가지 정의를 살펴보자. 위상 공간 X에 연속적인 변형, homotopy를 가하여 한점으로 만들 수 있을 때, 그 위상공간 X가 contractible이라고 한다. 예를 들면 Rn은 contraction H(x,t)=tx 에 의해서 0으로 contractible하다. 또한 모든 convex subset of Rn도 마찬가지이다.
어떤 위상 공간 X 의 모든 loop이 한 점으로 contraction 될 수 있다면, 그 공간을 simply connected라고 부른다. 위에서 arcwise connected는 위상 공간 X의 임의의 두 점을 연결하는 path가 있을 때를 의미한다고 했다. S2, 즉 구의 표면에 해당하는 공간은 arcwise, simply connected이지만, S1 x S1 Torus (표면)에 해당하는 공간은 arcwise connected이지만, simply connected 는 아니다. 예를 들어, 도너츠를 둘러싼 원의 경우 한 점으로 만들 수 없기 때문이다. 즉 공간에 구멍이 있으면 simply connected가 아니다. 만약 arcwise connected 위상 공간 X의 fundamental group이 trivial group이라면, 그 공간은 contractible하고, 당연히 simply connected space이다.
일반적으로 fundamental group을 구하기는 쉽지 않지만, S1(원)의 경우는loop을 이루는 방법이, 그 점에서 한바퀴, 두바퀴,… 이런씩으로 정수배를 도는 경우밖에 없으므로 fundamental group은 π(S1)~Z와 isomorphism관계에 있음을 쉽게 짐작할 수 있다. 그러나, 이 간단한 경우에도 엄밀하게 수학적으로 그 관계를 보이는 것은 쉽지 않다. Torus의 경우 S1 x S1 이고, 각각의 S1을 따라서 정수배만큼 회전이 가능하므로 π(T^2) = π(S1 x S1) ~ Z x Z (Z direct sum Z) 이고 구멍이 g개 있다면, π(T^(n))=Z x …. .x Z 로 주어진다.
일반적으로 fundamental group을 구하기는 쉽지 않지만, S1(원)의 경우는loop을 이루는 방법이, 그 점에서 한바퀴, 두바퀴,… 이런씩으로 정수배를 도는 경우밖에 없으므로 fundamental group은 π(S1)~Z와 isomorphism관계에 있음을 쉽게 짐작할 수 있다. 그러나, 이 간단한 경우에도 엄밀하게 수학적으로 그 관계를 보이는 것은 쉽지 않다. Torus의 경우 S1 x S1 이고, 각각의 S1을 따라서 정수배만큼 회전이 가능하므로 π(T^2) = π(S1 x S1) ~ Z x Z (Z direct sum Z) 이고 구멍이 g개 있다면, π(T^(n))=Z x …. .x Z 로 주어진다.
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