수학이론
호지대수
existence_of_nothing
2022. 7. 30. 17:26
유클리드 기하학의 제 5 공준인 평행선 공준 "선밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 유일하게 존재한다", 은 유클리드 자신도 이것을 공준으로 포함시켜야 할지 말아야 할지를 고민했을 정도로, 그것이 꼭 필요한 공리인지에 대해서 말들이 많았고, 실제로 많은 정리들을 5공준을 사용하지 않고 증명하였다.
Gauss는 그 공준이 반드시 필요하지 않다는 것을 진작에 알고 있었고 그것이 필요없는 기하학을 이미 생각하였으나, 어리석은 중생들이 그 얘기를 이해하지 못하고 귀찮게 할 것을 우려하여 발표를 하지 않는다. 때가 흘러 "야노시"라는 수학자가 평행선이 무한개가 존재하는 공간인 쌍곡선기하 "보여이-로바체프스키 기하학"을 발표하였으나, 이미 가우스와 로바체프스키가 자신보다 먼저 연구를 했다는 내용에 실망한다.
라이프니츠와 가우스는 휘어진 공간의 곡률의 개념을 연구하였고,가우스의 제자인 리만은 이를 더욱 발전시켜서 리만텐서, 리만 곡률 개념을 탄생시킨다. 리만이 만든 "타원 기하학"에서는 평행선이 아예 존재하지 않고, 모든 선들은 그 공간에서 반드시 만나게 된다.
쌍곡선, 타원, 구면, 택시, 절대 기하 등 제 5공준을 사용하지 않고 만든 기하학을 비유클리드 기하학이라고 부른다. 비유클리드 공간중, 미분이 가능한 다양체(smooth manifold) 상에서 미분과 적분에 관한 이론을 연구하는 분야가 미분 기하학, differential geometry 이다. 잘 알다시피, 아인슈타인이 일반 상대성이론의 아이디어를 생각하고, 10년동안이나 친구 수학자 그로스만의 도움을 받아 열심히 공부한 이론이며, 몇달만 더 공부했다가 힐베르트에게 그 공을 넘길 뻔했다.
아래 내용들은 수식들이 난잡하게 정리가 잘 안 되어 있으니, 그냥 가볍게 skip 하시길...
====================
1. integral curve
다양체 M상에 vector field X가 주어졌다는 말은, M상의 모든 점마다 tangent vector 가 주어졌다는 말이다. 그러면 그 벡터를 따라 이동하는 경로 curve를 만들 수 있는데 이것을 integral curve c(t) 라고 하며, dcᵘ/dt=Xᵘ(c(t)) 로, 그 점에서 다음에 이동할 방향은 X에 따라 결정된다. 다양체 M을 강으로, vector field를 강의 한 지점의 유속으로 상상해 보자. 그러면, c(0)=x0에서 출발한 물체는 시간에 따라서 강을 흘러갈 것이다. 어떻게 흘러갈지는 강의 지형이 만들어낸 각 지점의 velocity or tangent vector 가 결정할 것이다. 즉, “c(t,x0): ℝ x M → M is called a flow generated by X” 라고 하며 c(t,c(s,x0))=c(t+s,x0)라는 성질을 만족한다. 예를들면 M=R², X(x,y)=-yd/dx+xd/dy 라면, c(t,(x,y))=(xcost-ysint, xsint+ycost)가 되어, 원을 그리면서 빙글빙글도는 flow를 만든다.
Flow에 따라 다양체 M상의 각 점들은 일정 시간 t 이후에는 다른 점들로 흘러갈 것이다. 시간 t에 각 점들의 대응관계를 보면 cₜ: M→M 는 diffeomorphism 이며그들은 가환군(commutative group)을 이룬다. 즉, cₜ(cₛ(x))=cₜ₊ₛ(x) or cₜ o cₛ= cₜ₊ₛ, c₀(x)=x=unit element, c₋ₜ=(cₜ)⁻¹ 으로 군의 성질을 만족한다. 이것을 one-parameter group (of transformation)이라고 부른다. U(1)=exp(it), SU(t)=(cost -sint; sint cost) 들이 모두 one-parameter group에 속한다. 위에서 t가 아주 작은 경우에는 아래 식과 같이, X를 기울기로 하는 직선을 따라 흘러간다고 생각할 수 있는데, 아래에서 X를 infinitesimal generator (of transformation group cₜ )라고 부른다. 이렇게 연결하면 전체 flow는 velocity vector field X에 exponential을 하여 얻을 수 있는데 이것을 exponentiation of X라고 부른다.
==================
2. Lie derivative
강물 M의 한 지점에 성냥개비가 있다고 생각해보자. 성냥개비를 그 지점의 하나의 vector라고 생각해 보자. 이제 vector field X에 따라, 즉 유속을 따라 성냥개비가 흘러가면 그 vector가 가르키는 방향은 변화했을 것이다. 그렇게 flow에 따라 자연스럽게 변화된 벡터와, 원래 그 자리에 있었던 벡터를 비교하는 것을 Lie derivative라고 부른다. 상대성이론을 조금 깊이있게 다루는 책들에서 그 얘기들을 들어본다. 유도하는 방법은 여러가지가 있는데, 그 중 하나를 살펴보자. 아래 그림에서 현재 x’지점에 있는 벡터는 조금 전에는 x 지점에 있던 벡터가 flow를 따라 이동했을 것이다. 현재 벡터와, 이동해서 현 자리를 차지한 벡터의 차이를 구해서 이동한 거리만큼 미분해 보자.
Gauss는 그 공준이 반드시 필요하지 않다는 것을 진작에 알고 있었고 그것이 필요없는 기하학을 이미 생각하였으나, 어리석은 중생들이 그 얘기를 이해하지 못하고 귀찮게 할 것을 우려하여 발표를 하지 않는다. 때가 흘러 "야노시"라는 수학자가 평행선이 무한개가 존재하는 공간인 쌍곡선기하 "보여이-로바체프스키 기하학"을 발표하였으나, 이미 가우스와 로바체프스키가 자신보다 먼저 연구를 했다는 내용에 실망한다.
라이프니츠와 가우스는 휘어진 공간의 곡률의 개념을 연구하였고,가우스의 제자인 리만은 이를 더욱 발전시켜서 리만텐서, 리만 곡률 개념을 탄생시킨다. 리만이 만든 "타원 기하학"에서는 평행선이 아예 존재하지 않고, 모든 선들은 그 공간에서 반드시 만나게 된다.
쌍곡선, 타원, 구면, 택시, 절대 기하 등 제 5공준을 사용하지 않고 만든 기하학을 비유클리드 기하학이라고 부른다. 비유클리드 공간중, 미분이 가능한 다양체(smooth manifold) 상에서 미분과 적분에 관한 이론을 연구하는 분야가 미분 기하학, differential geometry 이다. 잘 알다시피, 아인슈타인이 일반 상대성이론의 아이디어를 생각하고, 10년동안이나 친구 수학자 그로스만의 도움을 받아 열심히 공부한 이론이며, 몇달만 더 공부했다가 힐베르트에게 그 공을 넘길 뻔했다.
아래 내용들은 수식들이 난잡하게 정리가 잘 안 되어 있으니, 그냥 가볍게 skip 하시길...
====================
1. integral curve
다양체 M상에 vector field X가 주어졌다는 말은, M상의 모든 점마다 tangent vector 가 주어졌다는 말이다. 그러면 그 벡터를 따라 이동하는 경로 curve를 만들 수 있는데 이것을 integral curve c(t) 라고 하며, dcᵘ/dt=Xᵘ(c(t)) 로, 그 점에서 다음에 이동할 방향은 X에 따라 결정된다. 다양체 M을 강으로, vector field를 강의 한 지점의 유속으로 상상해 보자. 그러면, c(0)=x0에서 출발한 물체는 시간에 따라서 강을 흘러갈 것이다. 어떻게 흘러갈지는 강의 지형이 만들어낸 각 지점의 velocity or tangent vector 가 결정할 것이다. 즉, “c(t,x0): ℝ x M → M is called a flow generated by X” 라고 하며 c(t,c(s,x0))=c(t+s,x0)라는 성질을 만족한다. 예를들면 M=R², X(x,y)=-yd/dx+xd/dy 라면, c(t,(x,y))=(xcost-ysint, xsint+ycost)가 되어, 원을 그리면서 빙글빙글도는 flow를 만든다.
Flow에 따라 다양체 M상의 각 점들은 일정 시간 t 이후에는 다른 점들로 흘러갈 것이다. 시간 t에 각 점들의 대응관계를 보면 cₜ: M→M 는 diffeomorphism 이며그들은 가환군(commutative group)을 이룬다. 즉, cₜ(cₛ(x))=cₜ₊ₛ(x) or cₜ o cₛ= cₜ₊ₛ, c₀(x)=x=unit element, c₋ₜ=(cₜ)⁻¹ 으로 군의 성질을 만족한다. 이것을 one-parameter group (of transformation)이라고 부른다. U(1)=exp(it), SU(t)=(cost -sint; sint cost) 들이 모두 one-parameter group에 속한다. 위에서 t가 아주 작은 경우에는 아래 식과 같이, X를 기울기로 하는 직선을 따라 흘러간다고 생각할 수 있는데, 아래에서 X를 infinitesimal generator (of transformation group cₜ )라고 부른다. 이렇게 연결하면 전체 flow는 velocity vector field X에 exponential을 하여 얻을 수 있는데 이것을 exponentiation of X라고 부른다.
==================
2. Lie derivative
강물 M의 한 지점에 성냥개비가 있다고 생각해보자. 성냥개비를 그 지점의 하나의 vector라고 생각해 보자. 이제 vector field X에 따라, 즉 유속을 따라 성냥개비가 흘러가면 그 vector가 가르키는 방향은 변화했을 것이다. 그렇게 flow에 따라 자연스럽게 변화된 벡터와, 원래 그 자리에 있었던 벡터를 비교하는 것을 Lie derivative라고 부른다. 상대성이론을 조금 깊이있게 다루는 책들에서 그 얘기들을 들어본다. 유도하는 방법은 여러가지가 있는데, 그 중 하나를 살펴보자. 아래 그림에서 현재 x’지점에 있는 벡터는 조금 전에는 x 지점에 있던 벡터가 flow를 따라 이동했을 것이다. 현재 벡터와, 이동해서 현 자리를 차지한 벡터의 차이를 구해서 이동한 거리만큼 미분해 보자.
미분 기하학을 처음 접할 때, 복잡한 notation 때문에 처음에 엄청 혼동이 온다. 특히 vector의 basis를 partial derivative로 잡는다는 사실자체가 낯설기도 하다. 어쨌던, 어떤 다양체 M상의 vector field X가 주어진 경우, X를 따라 흘러가면서 Y라는 벡터의 시간에 따른 변화량이 바로 Lie derivative이다. Lie derivative 의 유도에 있어서는, christoffel symbol 이나, connection 이라는 개념을 사용하지 않았다는 점에서 일반상대성이론에서 자주 등장하는 covariant derivative와는 차이가 있다. 결론적으로 Lie derivative는 두 벡터 field의 lie bracket으로 주어진다. Lie derivative는 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.
Lie bracket의 의미는 아래 그림에 잘 나타나 있다. 아래에서 2개의 서로 다른 방향의 flow가 있다. 하나는 가로 방향의 σ(s,x)이고, 다른 하나는 세로 방향의 τ(t,x)로 그 둘은 각가 X 와 Y vector field에 의해서 생성되었다고 하자. 이때, σ→ τ 방향으로 infinitesimally이동한 지점과, 반대로 τ → σ방향으로 이동한 지점은 일치하지 않는다. 그 차이가 나는 정도가 lie bracket으로 설명된다. 만약, 두 경로가 동일한 지점에서 만난다면 LₓY=[X,Y]=0 이다.
스칼라 함수에 대한 Lie derivative는 flow 방향에 대한 directional derivative와 동일하다. Lie derivative도 미분의 일종이므로 미분의 기본 성질인 (fg)’=f’g+fg’라는 Libniz rule을 만족시켜야 한다. 즉,
Lie derivative를 scalar function 이나 1-form에 대해서도 적용할 수 있으며, 앞서 vector에 대해서 lie derivative를 취한 과정을 그대로 쫓아가서 계산할 수 도 있고, 아래와 같이 Libniz rule를 적용하여 유도할 수도 있다.
지금까지 Lie derivative를 flow를 따라 관측한 벡터의 시간적 변화량이라는 측면에서 복잡한 과정으로 여러 정의들을 유도하였으나, 이와는 달리, 기본 공리로부터 Lie derivative를 유도할 수도 있다. Wiki에 나와있는 Lie derivative 기본공리는 아래와 같다.
===============================
3. Differential forms, Wedge product, Exterior product
Differential form이란 anti-symmetric T(0,r) tensor 혹은 anti-symmetric r-form을 말한다. Anti-symmetric란coordinate permutation 연산 P에 대해서, Pω=sgn(P)ω 로, 예를 들면 ω(x,y,z)=-ω(y,x,z), ω(x,y,z)=ω(y,z,x) 와 같이 자리를 홀수번 바꾸면 부호가 반대로, 짝수번 바꾸면 원래 값인 경우를 말한다.
1-form들의 Wedge product 는 다음과 같이 주어진다. 아래의 좌표축 wedge product들은 r-form의 basis vector로 사용된다.
3. Differential forms, Wedge product, Exterior product
Differential form이란 anti-symmetric T(0,r) tensor 혹은 anti-symmetric r-form을 말한다. Anti-symmetric란coordinate permutation 연산 P에 대해서, Pω=sgn(P)ω 로, 예를 들면 ω(x,y,z)=-ω(y,x,z), ω(x,y,z)=ω(y,z,x) 와 같이 자리를 홀수번 바꾸면 부호가 반대로, 짝수번 바꾸면 원래 값인 경우를 말한다.
1-form들의 Wedge product 는 다음과 같이 주어진다. 아래의 좌표축 wedge product들은 r-form의 basis vector로 사용된다.
Wedge product는 n차원 공간에 n개의 벡터들로 이루어지는 공간의 면적, 체적을 나타내는 데에도도 사용된다. 즉,
다양체 M위의 한 점 p상의 모든 r-form들은 vector공간을 이루며 이것을 Ω_p^r(M)로 표시하면, ω∈ Ω_p^r(M) 는 앞서 정의한 좌표축 r-form 으로 표시하면 아래와 같이, anti-symmetric 한 좌표값을 가지는 성분들로만 표시된다. Symmetric 한 부분은 서로 상쇄되어 사라진다.
q-form ω와 r-form ξ가 주어진 경우, 이들의 exterior product ω ∧ ξ 는 다음과 같이 정의된다.
다양체 M 상의 한 점 p에서 정의되는 모든 r-form들의 잡합을 Ω_p^r*(M)이라고 할 때, 그 최대값이 m이라면 그 집합은 아래와 같이 쓸 수 있다.
===========================
4. Exterior derivatives
4. Exterior derivatives
Exterior derivate d는 위에서 보는 바와 같이, 0form인 scalar 함수에 대해서는 1 form인 gradient를, 1 form에 대해서는 vector의 curl에 해당하는 2-form을, 2form에 대해서는 divergence에 해당하는 3 form값을 출력한다. 또한, 현대 기하학(미분, 대수 기하)에서 아주 중요한 관계식인 아래 관계식, 즉, 미분을 두번하면 0이 된다는 성질을 가지고 있다.
위의 성질을 이용하면 maxwell의 두 방정식 즉, E=-∇φ-∂₀A,B=∇xA 는 dF=d(dA)=0 라는 간단한 식으로 표기가 가능하다 (Bianchi indetity라고 부른다). 나머지, 2개의 방정식은 hodge dual 표현을 빌려서 d*F=J, 즉 Maxwell 방정식을 dF=0, d*F=J라는 단 2개의 수식으로 정리가 가능하다. 이것은 특수 혹은 일반 상대성이론을 조금 깊이 있게 다루는 책에서는 자주 만나는 식이다.
이전 포스팅에서 pullback의 개념을 소개하였다. 즉, 다양체 M가 N사이에 differmorphism f가 존재하는 경우, φ: M→N, M상의 vector를 N상의 벡터로 이동하는 pushforward φ∗: TpM →Tf(p)M 과, N상의 function 혹은 r-form을 M상의 그것으로 가져오는 pullback φ∗: Tf(p)*N → Tp*M 의 induced map이 자연스럽게 존재한다. 따라서, N cotangent plane에 존재하는 r-form을 M cotangent plane으로 다음과 같이 가져올 수 있다.
이전 포스팅에서 pullback의 개념을 소개하였다. 즉, 다양체 M가 N사이에 differmorphism f가 존재하는 경우, φ: M→N, M상의 vector를 N상의 벡터로 이동하는 pushforward φ∗: TpM →Tf(p)M 과, N상의 function 혹은 r-form을 M상의 그것으로 가져오는 pullback φ∗: Tf(p)*N → Tp*M 의 induced map이 자연스럽게 존재한다. 따라서, N cotangent plane에 존재하는 r-form을 M cotangent plane으로 다음과 같이 가져올 수 있다.
===========================
5. de Rham cohomology
Exterior derivative가 정의되면 자연스럽게 아래와 같이 증가하는 r-form chain을 이루게 되는데, 이것을 de Rham complex라고 부른다. 첫번째 map을 inclusion map이라고 부르며, d^2=0이기에 im d_r⊂ker d_(r+1) 관계가 성립한다. 만약 dω=0 이면 ω가 closed form이라고 부르며, ω=dω’라면 ω가 exact form 이라고 부른다. d^2=0이므로, exact form 이면 closed form이지만, closed form이라고 해서 exact form은 아니다. 만약 im d_(r-1)=ker d_r 이라면 exact sequence라고 하는데, exact하지 않은 정도, 즉, ker d_r/im d_(r-1)=H^*_r 을 r-th deRham cohomology group이라고 부른다.
5. de Rham cohomology
Exterior derivative가 정의되면 자연스럽게 아래와 같이 증가하는 r-form chain을 이루게 되는데, 이것을 de Rham complex라고 부른다. 첫번째 map을 inclusion map이라고 부르며, d^2=0이기에 im d_r⊂ker d_(r+1) 관계가 성립한다. 만약 dω=0 이면 ω가 closed form이라고 부르며, ω=dω’라면 ω가 exact form 이라고 부른다. d^2=0이므로, exact form 이면 closed form이지만, closed form이라고 해서 exact form은 아니다. 만약 im d_(r-1)=ker d_r 이라면 exact sequence라고 하는데, exact하지 않은 정도, 즉, ker d_r/im d_(r-1)=H^*_r 을 r-th deRham cohomology group이라고 부른다.
=================================
6. Interior product
Exterior product는 그 결과 r form이 (r+1) form으로 증가함에 비해, 그 반대로 (r+1) form을 줄여서 r form으로 보내는 interior product (derivative)를 다음과 같이 정의한다.
6. Interior product
Exterior product는 그 결과 r form이 (r+1) form으로 증가함에 비해, 그 반대로 (r+1) form을 줄여서 r form으로 보내는 interior product (derivative)를 다음과 같이 정의한다.
Interior product와 관련한 여러 성질들과 그 응용은 아래와 같다.
========================
7. Integration of differential forms
다양체 M이 방향성을 가질 때, (orientable) 미분과 적분을 정의할 수 있다. 방향성을 가진다는 말의 정의는 아래와 같다.
7. Integration of differential forms
다양체 M이 방향성을 가질 때, (orientable) 미분과 적분을 정의할 수 있다. 방향성을 가진다는 말의 정의는 아래와 같다.
아래와 같은 뫼비우스 띠의 경우, 180도를 돌아서 제자리에 오면 (x1,x2)가 (y1,y2)=(x1,-y2) 가 되어 det J=-1 이 되기 때문에 방향성을 가진 공간이 아니다. 즉, 같은 지점이 어떤 경우에는 앞면 어떤 경우에는 뒷면이 되기 때문이다.
방향성이 있는 다양체에서의 적분 f: M→R은 아래와 같이 정의된다. 가장 간단한 정의는 1차원 경로를 잘게 잘게 쪼개어 그 값들을 더하는 형태로 주어진다. 이것을 좀 더 추상적으로 해석하면 적분이란 적분경로에 해당하는 curve와 differential form (간단히 함수라고 생각)을 입력받아 실수값을 출력하는 bilinear map, 일종의 내적처럼 해석할 수 있다. 미적분학 기본 정리는, 모든 정적분은 부정적분 함수에 양 끝점을 넣어서 계산을 할 수 있다는 의미이다. 이것을 좀 더 어려운 용어로 해석하면 모든 closed loop에 대해서 w를 적분해서 0이면 (closed form이면), w=df 로 표시할 수 있기에 F(a)-F(a)=0 이 된다는, 즉, closed이면 exact하다는 미분기하학적인 의미를 부여할 수 있다.
이제, 2차원 이상의 일반적인 차원의 적분을 정의하려면, 앞에서 다룬 differential form, exterior product의 개념을 도입해야 하며, Fundamental theorem of Calculus를 n 차원으로 확장한 Stokes’ theorem을 얘기할 수 있다. Stokes’ theorem은 수학 뿐 아니라, 물리학, 특히 전자기학에서 자주 등장하는 핵심 원리 중 하나이다. 이것은 또한, differential operator d: 를 정의하는 의미로도 쓰일 수 있다. 즉, boundary operator ∂의 adjoint operator로 정의할 수 있는데, 이것은 대수 위상 수학의 homology, cohomology 를 얘기할 때 자주 등장한다.
반응형