스핀

슈뢰딩거 방정식의 유도는 간단하다. 이것은 전자기학에서 말하는 파동 방정식과 그 해의 형태를 알고 있고, 입자가 빛과 같은 파동성을 가진다는 것을 이해하고 고전적인 에너지 관계식을 알면 초등학생도 유도할 수 있을 만큼 간단한 방정식이다.

그러나, 그러한 단순함은 또한 여러가지 단점이 있으니, 결정적인 것은 슈뢰딩거 방정식은 로렌츠 변환에 대해서 불변인 형태가 아니라는 것이다. 즉, 상대성이론과 슈뢰딩거 방정식은 서로 친하지 않다.

슈뢰딩거 방정식을 한마디로 적으면 E Y= H Y 이다. E는 에너지이고 H는 해밀토니안이라고 부르는 값이며 T+V, 즉 운동과 위치 에너지를 합한, 계의 총 에너지를 의미한다. H=P^2/2m+ V로 주어지고, 이제 E와 P에 에너지, 운동량 연산자를 대입하면 유명한 슈뢰딩거 방정식이 바로 튀어나온다.

Infinite wall 이라는, 즉, 입자가 무한대의 potental 에 갖힌 구속된 상태에 있는 그러한 경우의 슈뢰딩거 방정식의 해를 구하면, 특정한 주파수 혹은 파장만을 가진 정현파 해를 얻을 수 있다. E=플랑크 상수 x 주파수 이므로, 이 말은 에너지가 양자화된다는 사실을 의미한다. 양자역학은 에너지의 양자화를 말하는 것은 아니다. 그것은 입자들의 파동성, 모든 것들의 파동성을 의미하는 것이다. 에너지의 양자화는 파동이 진동하는 모드에 제한이 있기 때문에 발생하는 부차적인 것이다.

만약, finite wall, 즉, 입자가 고전역학적으로는 탈출할 수 없을만큼 높은 potential에 구속된 상태,, 이 경우의 해를 구하면, 입자의 파동성 때문에, 입자는 벽의 너머에 존재할 수 있다. 이것을 quantum tunneling, 양자 턴널링 효과라 부른다. 태양 내부의 온도가 2천만도 밖에 안되지만, 핵융합이 일어나는 이유이며, 그렇게 느리게 제어된 핵융합으로 인해 지구에 무엇인가 스토리가 만들어질 여유가 생겼다.

이제, 양성자 하나에 포획된 전자에 관한, 즉 원형 대칭의 columb potential 에 갖힌 원자에 관한 문제를 풀어보면, (n, l, m)이라는 3개의 양자수에 관한 얘기를 만난다. 고등학교에서 s, p, d 같은 궤도를 화학시간에 배운다. 1s, 2s같은 얘기를 할 때, n 주양자수와 L^2, 3방향 전체의 각운동량의 합에 해당하는 양자수 l (방위 양자수)과, 마지막으로 z라는 특정방향에 대한 각운동량에 해당하는 자기 양자수 m을 만난다.

그러나, 슈뢰딩거 방정식을 아무리 잘 풀어도, 우리는 전자의 스핀을 발견할 수 없다. 스핀은 Stern-Gerlach라는 양자 역학의 역사적인 실험 결과에서 찾아지는데, 사실 그들은 스핀에 대해서 1도 몰랐으며, 그들이 관측하려던 값은 스핀과 1도 상관이 없었다. 그러나, 기막힌 우연에 의해서 스핀이 발견되고, 스핀의 발견은 양자 역학과 상대성 이론의 연결 고리를 만든다.

물리학에 대해서 얼마나 깊이있는 지식이 있는지를 물어보려면 스피너에 대해서, 그 수학적 구조를 얼마나 알고 있는지를 물어보면 된다. 스피너를 이해하는 수많은 방법들이 있는데, 그 대답하는 형태에 따라, 물리학을 얼마나 이해하고 있는지 그 깊이를 금방 파악할 수 있다.

사실, 슈뢰딩거 본인도 양자역학을 상대성이론과 결합시키려는 노력을 하였고, 그 결과인 Klein-Gordon 방정식에 도달했다. 그러나, 그 결과는 당혹스럽게도, 음의 에너지가 존재하는 세상을 보여주었고, 슈뢰딩거는 그 자리에서 멈추었다. 사실, 그에게 물리학만큼이나, 주변 여성들과의 데이트도 중요하였고 그는 주변 동료들의 와이프들과 수많은 염문을 남기고, 아이까지 가진다.

그러나, 디락은 그와 달리 음의 에너지를 끝까지 쫓아갔고, 그 결과 그는 고전역학적인 개념으로는 전혀 도입될 필요가 없었던, 스피너라는 희안한 물리적 실체를 만나게 된다. 흔히들 제자리에서 한바퀴 360도를 돌면 원래 세상에 돌아올 것을 믿는다. 당연한 직관이다. 그러나 스피너는 360도를 돌리면 제자리에 돌아오지 않고 부호가 반대인 세상에 도달한다. 720도를 돌면 제자리로 오는.. 전혀 직관과 위배되는 신비스러운 스핀의 세상을 만나게 된 것이다.