양자역학의 태동 - 아인슈타인의 고체 비열 이론

20세기 초에 인간들이 세상을 바라보는 관점을 완전히 바꿀 수도 있는 두가지 사건이 물리학계에 등장한다. 하나는 시공간의 통합과 우리가 동시라고 부르는 시간과, 지금 여기라고 하는 공간의 동시성에 대한 깊은 통찰을 제공하는 상대성이론의 등장이고, 다른 하나는 파동과 입자의 양면성.. 존재란, 존재한다는 말의 의미는 무엇인지에 대해서 심오한 질문을 던진 양자역학의 등장이다.

 

양자역학의 기이함은, 그 최초의 제안자인 플랑크 조차도 스스로 납득할 수 없어서 그 본질을 감추고 단지, 용광로 온도 예측을 위한 하나의 수학적 도구일 뿐이라고 얼버무린 것만 봐도 짐작할 수 있다. 많은 물리학자들의 조롱과 멸시, 반발을 맞설 용기가 없었기 때문일 것이리라.. 그러나, 아인슈타인은 그 본질을 정확히 직시하고 그 모든 학문의 권력에 과감히 도전한다. 

 

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Einstein은 양자역학의 탄생에 지대한 공헌을 하였다. 노년에는 양자역학의 확률적 기술을 심히 싫어하면서 스퇄을 완전히 구겼지만, 아래에 설명한 Einstein solid및 광양자 가설을 통하여 에너지의 양자화 이론을 퍼뜨리는데 아주 많은 기여를 하고 실제로 첫번째 노벨상은 특수상대성이론이 아니라 광양자 가설로 수상한다.

 

며칠 전에 아인슈타인이 그냥 평범한 과학자가 아니냐고 누군가 글을 올렸다. 실제로 아인슈타인의 특수 상대성이론은 로렌츠나 민코프스키, 힐버트도 거의 완성할 수 있었을 시간상의 문제였을 것이다. 일반상대성이론은 친한 수학자 동료의 많은 도움을 받았기에 그러한 주장을 할 수도 있다. 말년에 양자역학 반대 운동에 열성이었고, 사생활또한 그렇게 깨끗하지 않았기에 더욱 그에 대한 반감을 가질 수 있다.

 

그러나, 그가 26세 되던 1905년에 아인슈타인은 특수 상대성 이론, 광량자 가설, 그리고 브라운 운동 방정식을 발표한다. 그 세편 모두가 물리학계에 한 점들을 긋는 획기적인 이론이었다는 점에서 그의 천재성을 부인할 수가 없다.

 

열 및 통계 역학에서 비열 (heat capacity)을 구하는 것은 중요하다. 어떤 물질의 성질을 결정하는 중요한 성질이기 때문이다. 비열의 정의는 외부에서 온도를 가했을 때에 내부 에너지가 얼마만큼 상승하느냐이다.

 

비열은 물체의 상태에 따라서 달라진다. 원자나 분자들의 자유도가 달라지기 때문이다. 통계역학의 기본 가정은 공평함이다. 물질은 취할 수 있는 모든 모습을 고루가진다. 자연은 특정한 상태를 선호하지 않는 무가치 중립주의자이다. 따라서, 비열의 계산에 있어서, 자유도 (혹은 특정 에너지 상태에서 취할 수 있는 모드의 수)를 잘 세는 것이 중요하다.

 

원자들의 운동은 고전적으로는 병진(translation), 회전(rotation), 진동(vibration)의 운동이 가능한데,  기체 상태나 액체 상태와 달리 고체의 경우는 (x,y,z)방향의 진동 운동만 가능하다. 각 진동 방향으로 3 자유도가 있기에 N개의 원자가 있다면 온도 T인 경우에 각 자유도(3N)가 모두 kT의 에너지를 나눠갖는다. 따라서, 총 내부 에너지 U=3NkT로 표시되고, 비열은 N에 대해서 미분한 3Nk로 주어진다. 온도가 높을때는 측정치도 이와 동일하다. 아래가 비열 커브이다.

 

온도가 높을때는 예상한데로 Cv/3Nk=1이다. 그러나, 온도가 낮아지면 고전적인 해석으로는 이해가 안되는 현상, 비열이 0으로 떨어지는 현상이 발생한다.

(위의 그래프의 왼쪽으로 떨어지는 영역)

 

이를 설명하기 위하여 아인슈타인은 플랑크가 흑체 복사에서 사용한 방식과 같은 방식으로 에너지를 양자화하여 비열을 계산해 본다. 아래 설명은 그의 접근법이 아니라, 현대적 통계역학적으로 그의 접근법을 설명한 것이다. 

 

통계역학에서는, 특정 에너지 대역에 입자가 분포할  확률을 얘기할 때에 먼저, 그 계의 모든 가능한 상태를 표시하는 partition function을 구한다. 에너지가 양자화되어 있기에 partition function은

 

로 주어지고 시스템의 평균 내부 에너지는

 

따라서 고체의 비열은

 

가 정확한 표현이다. 고전 역학과 좌측 3Nk부분은 일치하지만, 그 오른쪽에 에너지 양자화에 의한 보정 항이 붙는다.

 

만약 온도가 올라가면 sinh(x)는 x로 근사화되므로 고전적인 비열 3Nk로 수렴한다. 낮은 온도의 비열곡선의 설명에는 앞서 설명한 플랑크 곡선의 설명과 같은 에너지의 양자화를 도입하여 아인슈타인은 고체의 비열 현상을 깔끔하게 설명한다.

 

아인슈타인은 위의 비열 외에도 금속의 표면에 빛을 아무리 밝게(광양을 많게) 쏘여도 튀어나오지 않던 전자가, 빛의 주파수를 올렸더니 튀어나오는 현상, 광전자 효과를, 빛이 연속적인 에너지를 가지는 것이 아니라, 양자화된 에너지를 가지는 양자(quanta)라는 광양자설을 주장하여 깔끔하게 설명한다. 1905년에 발표한 광량자 가설로 노벨상을 수상한다.

 

이렇게 양자 역학 발전에 지대한 공헌을 한, 아인슈타인이 말년에 보어와 양자 역학 진영에 무모한 공격을 쏟아 붓고 꼰대 이미지를 남긴 것은 의아한 사실이 아닐 수 없다.