통계역학 - 맥스웰 분포

어차피 글을 시작한 김에, 이번에는 통계역학에 관한 글을 적어 본다. 수식이 많기에 이해하기는 쉽지 않을 것이다. 통계역학은 사실 새로운 물리학적인 법칙은 아니다. 근본적으로 물리학의 근본적인 법칙은 입자 물리의 원칙을 따른다. 즉, 4대힘에 따라서 세상은 돌아간다. 생물학, 지잘학, 통계역학, 열역학 모두, 그 근본은 입자 물리학이다. 사실, 영혼의 존재를 부정한다면 내가 이 글을 쓰고 있는 기본도 기본적으로 입자 물리학의 법칙, 강력/약력/전자기력/중력에 의해서이다.

 

그러나, 생물학의 문제를 해결하는데 양자역학을, 인간 사회의 여러 현상들을 해석하는데 뉴턴이나 상대성이론을 적용한다면, 그것이야 말로 차라리 몰랐다면 더 나았을 지식일 것이다. Boss중, 가장 위험한 boss는 아무것도 모르는 무능력한 boss가 아니다. 설익은 지식에 사로 잡혀 아집에 빠진 boss가 가장 위험하다. 그의 어슬픈 지식은 그 자신 뿐 아니라, 다른 많은 이들도 함께 위험에 빠뜨린다. 어설픈 신념이 위험한 이유이다. 차라리, 걍 하루 하루 살아가는 것이, 어설픈 신념에 빠져서 설치는 것보다 훨씬 사회에는 도움이 된다.

 

양자역학의 핵심은 입자와 파동의 이중성이라고 얘기하였다. 에너지의 양자화는 bounded system에서 wave equation을 풀 때 나타나는 부수적인 현상일 뿐이다. 그러면 통계 역학의 본질은 무엇인가? 통계역학은 자연의 가치 중립성에 대해서 얘기한다. 자연은 악도, 선도, 착한 넘도, 악한 넘에 대해서도 모두 가치 판단을 보류한다. 따라서, 나타날 수 있는 모든 현상은 한번씩 나타난다. 이것은 사실 극단적으로 단순화 시켜서 말하는 것이기에, 아주 거시적인 담론이기에 사실 잘 새겨서 들어야 한다.

 

하나 하나의 입자에는 없던 성질들이 입자들이 무리를 이루면 나타난다. 소립자에 없던 성질들이 소립자들이 원자를 구성하면서 나타난다. 모두가 동일한 소립자로 구성되지만 그 구성비에 따라 물리적, 화학적 성질이 확연히 달라진다. 페르미온의 무리가 보존이 되기도 하고, 질량이 없던 보존 입자가 유효 질량을 가지기도 한다. 생각과 사유를 전혀 하지 못하던, 소립자/원자/분자들이 모여서 어느 순간 삶과 죽음의 대칭성을 파괴하고자 노력하며, 자신의 존재에 대해서 스스로 생각한다. 그들의 법칙은 소립자들의 법칙에 기인하지만, 소립자들만을 아무리 쫓아가봐야 알 수 없다. 

 

통계역학에서 가장 중요하게 계산하는 것 중 하나는, 온도 T가 주어진 경우에 그 안에 있는 입자들이 어떠한 에너지분포를 가질 것인가 이다. 즉, 평형 상태에서 입자들 사이에 열 교환이 충분히 이루어진 세상의 입자들의 에너지 분포는 어떻게 될 것인가라는 문제이다. 아래에는 그 중 가장 기본인 maxwell 분포에 관한 얘기이다. 

 

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통계역학에서 하나의 자유도당 1/2kT 혹은 kT의 에너지를 가지고, 존재들은 평형상태에서 모든 자유도를 골고루 가진다. 이것은 평형 상태에서 수많은 입자들 간에 에너지 교환이 이루어지고, 이 과정은 공평무사하게 진행되기 때문에, 즉, 골고루 섞이기 때문이다. 이제 온도 T가 주어졌다고 가정하자. 온도, 압력, 부피등은 거시적인 변수들로 방안의 온도가 일정하더라도, 즉 거시 상태가 일정하더라도 미시 상태는 끊임없이 모습을 바꾼다. 이 과정에서 입자들의 운동 에너지가 모두 동일할 리는 없다. 그러면 질문은, 온도 T가 주어진 경우, 입자의 운동에너지가 E일 확률은 얼마일까라는 것이다.

 

방안의 온도가 T일 때, 그 방안의 기체 분자들의 속력 혹은 에너지의 분포를 구해 보자. g(v1,v2,v3)는 온도 T가 주어진 경우에 기체 분자들이 각 x/y/z 축으로 v1, v2, v3라는 속력을 가질 확률을 나타낸다. 전체 온도는 T이어야 하기에 v1,v2, v3의 분포는 당연히 제약이 있을 것이다. 과연 평형 상태에서 그들의 분포는 어떻게 존재할 것인가?

 

이 문제를 풀기 위해서  위해서 간단한 가정을 한다. 먼저, 분포함수 g(v1,v2,v3)=f(v1)f(v2)f(v3), 즉, 각 방향의 운동은 서로 독립이라고 가정한다. 여기서 (v1,v2,v3)는 x/y/z 방향의 기체 분자의 속력이다. 또한 g(v1,v2,v3)=g(||v||^2), 즉 속력에만 비례하지 방향에 따른 함수는 아니라고 가정한다 (즉, 자연이 특별한 방향을 선호하지는 않는다는 가정이다). 두 가정 모두 reasonable한 가정이다. 이러한 형태를 가지는 g(v)함수는 무엇인가?

 

그 가정하에서 이제 함수 f의 형태를 구해보자.

 

이제 마지막 식에서 우측항은 g(v1,v2,v3)의 함수인데, 좌측은 v1만의 함수이므로 g(v1,v2,v3)는 상수여야 한다. 그렇지 않다면 f(v1)이 여러 개의 값을 가질 수 있게 되므로 모순이다. 따라서 우측을 상수 2A라고 두면

 

즉, f(x)는 지수함수의 형태로 주어져야 한다. 그리고 확률이 1보다 크면 안되니, A는 당연히 음수일 것이다. 즉, velocity가 증가할수록, 그 상태에 입자가 존재할 확률은 지수함수적으로 감소한다는 것이다. f는 확률 분포함수이므로 전체 구간을 적분하면 1로 normalize되어야 하므로 (만약 A가 양수라면 당연히 발산하므로, A는 음수여야 함은 당연)

 

어찌 저찌하다보니, 이공계에서 누구도 피할수 없는, Gaussian distribution에 도달하였다. 즉, 어떤 입자가 x방향으로 v라는 속력을 가질 확률은 Gaussian 형태로 주어진다. 이제 3차원 공간에서  v라는 속력으로 달릴 확률을 구하면

 

 

위의 결론은 어떤 입자가 v라는 속력으로 달릴 확률은 3개의 independent Gaussian random variable의 제곱의 합에 해당한 값의 확률 분포로부터 구할 수 있다. 즉 3개의 서로 독립적인 Gaussian 확률 변수의 합에 해당하는 변수의 분포 함수는 무엇인가... 통계학 혹은 수학에서 이를 chi-square 분포라고 부른다. 이제 통계학의 이론들을 대입해 보면,

 

와 같은 분포 함수를 얻고, 이를  Maxwell distribution이라고 부른다. 가장 기본적인, 고전적인 통계역학적 분포 함수이다. 볼츠만은 이러한 역학적인 방법이 아니라 순수하게 확률적인 관점에서 이와 유사한 분포를 유도한다. 이것을 maxwell-boltzman distribution 이라고 부른다. 다음 게시글에서 한번 유도해 보자.