페르마와 데오판토스

디오판토스가 250년에 쓴 산수론(Arithmetica)은 대수학의 중요한 서적이다. 페르마의 마지막 정리를 쓴 책으로도 유명하다. 대수학에 최초로 기호를 (모르는 수를 미지수 제타로 표시) 사용한 책으로 알려져 있다. 물론, 오늘날과 같은 +-*%등의 compact한 표현은 17세기가 되어서야 완성된다. 주로 1차/2차 방정식에 대한 다양한 해법을 연구하였다. 많은 부분은 이미 그 해가 알려져 있었지만, 디오판타스는 이전과 달리 미지수를 이용하여 풀이과정을 체계적으로 기술한다.

 

디오판토스의 이론은 16세기가 되어서야 유럽에 알려지게 된다. 디오판토스의 책에 여러 종류의 일/이/삼차 방정식이 소개된다. 변수가 방정식보다 많은 방정식이나 시스템을 underdetermined system(equation), 부정방정식이라고 하고, 반대로 방정식이 변수보다 많은 경우 overdetermined system(equation)이라고 부른다. 부정방정식의 답은 일반적인 경우는 무한개이지만, 만약 정수 혹은 유리수 root로 제한하는 경우는 해가 없거나 유일하게 결정되거나 한다.

 

디오판토스는 부정 방정식의 정수 혹은 유리 계수 답은 몇 개인지, 그리고 어떻게 표현되는지를 연구하였고 훗날 정수론의 발전에도 큰 기여를 한다. “겨우 1차 방정식인데, 1600년전 수학인데” 라고 생각한다면 아래 문제들을 한번 풀어보자. 아마 이 글을 읽고 계신 분들 중, 아래 방정식을 정확히 풀 수 있는 분이 많지는 않을 것이다.

 

 

수학 분야의 꽃이며 가장 어려운 분야 중 하나가 정수론(number theory)일 것이다. 물론 수학 전공 아닌 나로서는 카더라 정도의 풍문일 뿐이다. (사실 수학과 과목 중 쉬운 과목은 하나도 없을 것이다. 국내와 달리 외국 대학에서는 최종 학위 과정 중 수학 과목을 필수적으로 요구하는 경우가 많다. 보통 수학과의 한 과목 로드는 타 전공 3개 정도를 합친 정도라고 흔히 얘기한다). 

 

정수론을 체계화하는데는 (1300년전 수학책, 디오판토스의 책으로 공부한 ^^) 페르마(1607-1665)의 기여가 크다.  물론 가장 큰 기여는 불세출의 수학 천재들인 오일러(1707-1783)와 가우스(1777-1855)에 의해서일 것이다. 그리고, 정수론은 훗날 추상적인 수, 새로운 수를 만드는 방법으로 연결되는데 이는 아벨과 갈로아의 천재성에 힘입은 바가 크다. 오늘날 우리가 사용하는 많은 암호 시스템은 정수론과 현대 대수학 이론에 기인한다.

 

정수론의 몇가지 유명한 문제들을 이 기회에 나열해 보자

 

(1) 완전수 (complete number): (양의) 약수의 총합이 자신의 2배가 되는 수 (sigma(n)=2n)의 규칙성은? 짝수의 경우 오일러가 N=2^n-2^(n-1)임을 보이고 홀수의 경우는 미해결

(2) 페르마의 마지막 정리: Diophantine equantion의 x^n+y^n=z^n에서 n=3인 경우, 1995 앤드류 와일스가 증명

(3) 골드바흐(1690-1764) 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 2개의 소수(prime number)의 합으로 표시된다의 증명. (약한 골드바흐 추측: 5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현가능하다) 약한 골드바흐는 2013년 헬프고트(Harald Helfgott)가 증명, 원래의 골드바흐는 여전히 미해결

 

그 외 리만 가설도 유명한데, 리만 가설은 초끈 이론을 얘기할 때, 혹은 기타 주제로 종종 얘기할 일이 있을 것 같다. (리만 가설은 다른 미해결 문제들과는 달리 문제 자체를 제대로 설명하는 것도 사실 쉽지 않다.)

 

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고대 많은 수학서적들이 있었지만, 중세의 야만적 암흑기를 거치면서 많은 부분이 소실된다. 클레오파트라가 알렉산드리아로 많은 책들을 옮겨 보관하였으나 로마 황제 테오도시우스의 이교도 사원 파괴령으로 사원안에 있던 알렉산드리아 도서관이 폐허가 된다. 수많은 이들이 지식을 지키려 노력했지만, 유일신을 믿는 광신도 기독교인들에 의해서 많인 이들이 살해 되면서 기록들이 점점 소실된다. 디아판토스의 13권 중 여섯권이 기적적으로 살아남는다. 이에 따라  중세에 유럽에서 수학이 사라지고 아랍과 인도로 그 주도권이 넘어간다.

 

<1885 찰스 월리엄 미첼의 히파티아>

 

히파티아는 알렉산드리아 총독 오레스테스와 대주교 키릴로스의 권력 다툼에 휘말려 학살당한다. 불행히도 그녀의 집필은 단 한권도 남아있지 않다. 히파티아를 포함한 이교도를 처단한 키릴로스 대주교는 성인으로 추앙받는다. 악마와 천사는 야누스의 두 얼굴일 뿐이다.

 

 

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그리스를 동방으로 분류할 경우, 그래서 로마만 유럽에 포함시킬 경우 유럽 사회에는 애초에 수학은 존재하지 않았다. 비잔틴과 알렉산드리아의 수학사도 종교적 광신에 의해서 거의 소멸되고, 수학의 명맥은 인도/아랍권에 의해서 유지된다. 로마 자체가 모방의 역사인데, 그나마 수학/철학은 제대로 모방도 못하는 사이에 글자도 모르던 게르만 민족에게 정복당하니 기원 후 400년부터 1400년까지 말 그대로 깜깜한, 최소한 수학/과학 영역에서는 중세 암흑시대로 진입한다.

 

그 와중에도 레오나르도 피보나치(1170-1240)라는 이탈리아 수학자가 아라비아 수를 소개하기도  한다. 피보나지 수열은 수능 혹은 논술 문제에 자주 나오는 유명한 수열이다. 1,1,2,3,5,8,… 규칙은 쉽게 알 수 있다. a_n=a_(n-1)+a_(n-2), a_1=a_2=1 이다. 즉, 1과 1로부터 시작해서 그 전항 2개의 값을 더하면서 진행되는 수열이다. 이 수열의 일반항을 구하는 것이 쉽지는 않고 선형대수학(linear algebra)수업을 들으면 예제 문제로 출제된다. 컴공과에서 C 프로그래밍 언어를 배우면 하노이 탑 문제와 함께 recursive function call 예제 문제로도 종종 출제된다. 피보나치 수열과 달팽이의 마디를 비교하는 아래 그림은 유명하다.

 

피보나치 수열이 수렴하면 두 인접한 항의 비는 아래와 같이 황금비(golden ratio)라고 부르는 값으로 수렴한다.

 

황금비와 관련된 많은 미신들이 있다. 황금비는 일정한 관계식을 만족하는 수열의 수렴 관계에서 나오는 단순한 숫자일 뿐이다. 자연에서 발견되는 황금비는 대부분의 경우 근사적이고 우연한 요인에 의한 것인데, 인간들의 본능적인 무의미한 의미 붙이기가 여기에도 적용된다. 황금비를 가지고 파르테논 신전을, 피라미드를 지었네 마네, 하는 것은 흔히 말하는 통념을 사실처럼 믿는 (“카더라”) 오해에 불과하다.