통계역학-Ensemble에 대해
어려운 공부를 지속적으로 하려면 여러가지 조건이 맞아야 한다. 물질적으로도 어느 정도 여유가 있어야 하고, 정신적으로도 여러가지 신경써야할 부분이 적어서 공부를 할 여력이 있어야 한다. 이에 더해서 지능적인 부분에서도 어느 정도 뒷받침이 되어야 하고, 성격적인 부분에서도 어느 정도의 집요함이 있어야 한다. 최근에는 노화에 따른 학습 능력의 격감도 큰 부분을 차지함을 느낀다.
물리학을 깊이 이해하려면, 사실 물리학과 학부 과정에서 강의하는 과목 전 과정을 체계적으로 이해해야 할 것이다. 혹자들에게는 대학에서 아무것도 제대로 강의하지 않는 것 같지만, curriculum 자체만 하더라도 전문가들이 오랜 기간동안 고민한 결과 나온 결과이다. 어떠한 한 분야를 제대로 이해하려면 그 과정을 그대로 따라가면 된다. 요즘은 OCW, 강의가 인터넷에 많이 공개되어 있기에 장애 요인은 없다. 단지, 의지와 열정의 문제일 뿐이다.
양자 역학에 대해서 제대로 이해를 하고 싶으면 아래 교과서를 사서 공부를 하면 된다. 많은 양자 역학 책이 있지만, 보편적으로 아래 교과서를 가장 많이 사용하고 있다. 노벨상 수상자인 시드니 콜먼의 제자이자 리드 대학 교수인 그리피스 교수가 집필한 책이다. 그 내용이 그렇게 어렵지는 않지만, 그 내용을 이해하려면 어느 정도의 업은 쌓여야 할 것이다.
우주론을 제대로 이해하려면 물리학 전과정을 알아야 한다. CMB는 우주가 몸소 보여주는 blackbody의 표본이며, blackbody radiation이론을 제대로 이해하려면, 전자기학/열 및 통계역학을 이해해야 한다. Blackbody radiation을 이해하고 난 후에, CMB 주파수 스펙트럼을 보면 때로는 감동을 하게 된다. 아주아주… 아주 아주 오래전… 우리가 볼 수 있는 우주가 호랑이 콧구멍보다 작았을 때의 이야기를 물리학이란 도구, 통계역학이란 도구를 이용하여 이해하는 것이다.
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통계역학을 배우면, 3가지 통계에 대해서 보통 얘기한다. 그 세개는 각각 micro-canonical, canonical, grand canonical ensemble에 관한 것이다. 오늘 포스팅은 그것에 대해서 스스로 정리해 본다. 수식하나하나는 정확하지도 않고 남들이 이해하라고 쓴 내용도 아니다. 그냥, 이러한 분야도 물리학에 있구나라고 훑어 넘기시면 된다.
1.Microcanonical ensemble
통계역학의 가장 기본적인 가정은 다음과 같다.
“For an isolated system in equilibrium, all accessible microstates are equally likely”
간단한 말이다. 즉, 하나의 거시 상태를 이루는 수많은 조합이 가능하다. 예를 들면 방안의 온도 T를 나타내는 수많은 기체 분자들의 조합이 가능하다. 열적 평형상태에서, 충분히 그들간에 에너지 교환이 이루어진 후에 살펴보면, 그들은 모두 나타나며, 모두 동일한 확률로 나타난다는 말이다. 이것을 수식으로 설명해 보면
시스템의 에너지가 E로 고정되어 있고 에너지와 입자의 교환이 더 이상 발생하지 않는 고립된 시스템에서, 시스템이 특정한 mirostate에 존재할 확률 분포를 microcanonical ensembel이라고 부른다. 위에서 보듯이 가능한 모든 microstate의 확률 분포가 동일하게 (equi-probable) 게 나타난다. 자연은 나타날 수 있는 모든 모습을, 악이던 선이던.. 모두 한번씩 공평하게 보여준다. 혹은 그러한 믿음에 관한 얘기다. 이 시스템의 엔트로피는 다음과 같이 정의된다. 볼츠만의 묘비명에 새겨진 정의이다.
로그를 취하는 이유는, 그렇지 않으면 상태의 수가 너무 많기 때문이며, 만약 2개의 독립된 시스템이 있다면 전체 상태의 수는 각 상태의 수의 합으로 표시할 수 있기 위함이다. 즉,
이렇게 정의하면 2개의 고립된 시스템을 합친 경우의 entropy 가 원래의 엔트로피보다 크다는 것은 사실 증명의 필요성이 없이, 논리로도 가능하다. 왜냐하면, 합쳐진 시스템의 가능한 상태의 수는 분리된 상태의 수를 이미 포함하고 있기 때문이다. 즉, 자연이 공평무사하다는 것, 일어날 일은 모두 일어나고 동일 확률로 일어난다는 것이 바로 엔트로피가 증가하는 이유이다.
2. canonical ensemble
Micro sensemble 에서는 시스템의 에너지 E는 고정되어 있다 (즉, 시스템의 에너지가 변하지 않는다). 이제 시스템의 총 에너지가 때때로 주변과 열교환을 통해서 변할 수 있다고 가정해 보자. 이때, system을 제외한 나머지를 환경이라고 하고, 환경과 시스템은 열평형 상태에 있다고 가정하기에 온도 T는 일정하다. 환경이 시스템보다 엄청 크고 거의 infinite한 thermal reservoir 라고 가정할 때, 시스템(우리의 관심대상)이 특정한 microstate에 존재할 확률 분포가 canonical ensemble이다.
Reservoir을 R, system을 S이며 (R과 S모두의) 전체 에너지는 E-total로 일정하다. R와 S를 포함한 전체 시스템의 가능한 상태의 수는 시스템 S가 취할 수 있는 모든 상태 n에 대해서 R이 취할 수 있는 상태의 수를 모두 더하면 된다. 즉,
만약 E_total >> En이라면, E_total을 원점으로 Taylor 전개가 가능하다. (Taylor 전개는 모든 이공계 출신들은 최소한 한번은 들어본다) 즉,
전체 시스템의 에너지는 일정하므로 microcanonical snsemble이라고 생각할 수 있으며, 따라서 모든 상태가 발생할 확률은 동일하다. 따라서 시스템이 n 상태에 존재할 확률을 구해보면 아래와 같은 Boltzmann 분포를 얻는다. Boltzmann 분포의 이해는 통계 역학 이해의 기본중의 기본이니, 반드시 그 유도과정을 쫓아가 보시기를 권고한다. 다양한 방법으로 유도가 가능하다.
위에서 분모에 해당하는 상수 Z를 partitioning function이라고 부른다. Z는 통계역학에서 가장 중요한 물리량 중의 하나이다. Z를 미분 혹은 기타 연산하면 여러가지 유용한 값들을 얻을 수 있다.
Canonical system의 엔트로피를 Gibbs라는 천재는 다음과 같이 확률 분포만으로 얘기한다. 이것을 Gibbs entropy라고 부른다. 그리고, 이것은 나중에 전자공학의 정보이론 (information theory)분야에서는 Shannon entropy라고 부르고, 조금은 차이가 있지만 양자 정보 이론 (quantum information theory)분야에서는 Von-neumann entropy 라고 부른다. 이것과 볼츠만의 묘비에 있는 정의는 동일할까 그렇지 않을까?
엔트로피의 정의는 크게 3가지가 있다. Clausius 의 dQ/T, Boltzmann의 klnW, 그리고 Gibbs가 정의한 plnp 이다. 그 세가지는 사실 동일한 얘기를 하고 있다. 그 세가지 모두에 대해서 잘 설명할 수 있다면, 통계 역학의 최소한의 기본은 알고 있는 것이다.
3. Grand canonical Ensemble
에너지의 이동이 없는 시스템이 microcanonical, 에너지의 이동이 허용된 시스템이 canonical, 두 시스템 모두에서 입자수의 변화는 없다. 그러나, 만약 시스템내에 입자수의 이동까지 허용된다면 이러한 경우의 시스템의 상태에 따른 확률은 grand canonical ensemble을 따른다. 이 때의 partition function은 다음과 같이 주어진다.
Chemical potential 뮤는 입자 하나를 한 위치에서 다른 위치로 이동하는데 필요한 에너지이다. Charge를 두 지점 사이에 이동하는데 필요한 에너지가 electrical potential 라는 것을 상상하면 된다. Grand canonical ensemble는 이렇게 에너지와 입자의 이동이 자유로운 환경에서 시스템이 어떠한 micro state에 존재할 확률을 기술한다 (위의 식의 p(n)). 방법은 canonical ensemble과 거의 동일하고, 단지 chemical potential 이 포함된 부분만이 차이가 있다.
