오일러

수학 불모지인 유럽에서 어떻게 그렇게 짧은 기간동안 눈부신 발전을 할 수 있었는가.. 가끔씩 궁금한 주제 중 하나이다. 로마 시대 야만인 취급을 받은 게르만이나 켈트족이 실제로는 지능이 아주 우수한 민족이었을 지 모른다. 아니면 세상 모든 인간들의 지능은 정규분포 (가우스 분포)를 하는데, 우수한 지능을 가진 이들에게 수학이나 물리를 다룰 기회가 많이 주어졌기 때문일지도 모른다. 하여튼, 그들은 수학과 과학을 접한 지 얼마 되지 않은 짧은 시간에 눈부신 혁명적인 업적을 낸다.

 

그에 크게 기여한 두 수학자가 스위스 바젤의 오일러(1707~1783)와 독일 괴팅겐의 가우스(1777-1855)이다. 보통 천재들은 박명이다. 그러나 그 둘 천재는 충분히 오래 살았고 충분히 자신들의 일을 즐겼기에 수학과 과학사에 획을 긋는 수많은 업적을 남겼고 문명의 발달에 큰 기여를 하였다. 지금도 인터넷에서 그 둘 중 누가 더 천재였던가에 대한 쓸데없는 논쟁들이 있다. 3대 수학자로 아르키메데스, 뉴턴, 가우스를 꼽는 것으로 봐서는 가우스의 업적을 더 인정해 주는 것 같다. 대학 다닐 때, 가우스의 이름이 워낙 여러 군데에 나와서 동명이인이 참 많구나 하고 생각했었는데, 나중에 알고 보니 Carl Friedrich Gauss 한명이었다… ㅠㅠ.

 

오일러는 스위스 바젤에서 태어났다. 아비지는 캘빈파 목사였고 아들이 목사가 되기를 원했으나 아쉽게도 수학을 먼저 가르치는 실수를 한다. 사실 아버지는 목사이기도 또한 수학자였고 베르눌리(Bernoulli)의 제자였던 것이다. 아버지는 아들을 바젤대학에 입학시켜 신학과 헤브라이어 공부를 시켰지만 베르눌리 자매와 사귀면서 수학을 배운 후 프리드리히 대황의 초청으로 베를린으로 이주한다. 그러나 궁정에서 수학의 인기가 떨어지자 다시 예카테리나 여제의 청으로 66년에 상테페테르부르크로 돌아온다.

 

오일러는 나이 58세에 시력을 읽고 장님이 되었으나 뛰어난 암기력을 바탕으로 계속 연구를 진행한다. 실제로 시력을 상실한 다음 발표한 논문의 내용이 훨씬 많다. 당연히 거의 모든 계산은 암기로, 그의 뇌를 칠판으로 진행하였다. 평생 500편 이상의 저서와 논문을 남겼고, 미출판 본까지 하면 886편의 논문을 썼다. “그의 논문 작성 속도는 인쇄속도보다 더 빨랐다, 사람이 호흡을 하듯 독수리가 공중을 날 듯 아무런 힘도 들이지 않은 듯 계산을 해냈다”고 한다. 그가 투고한 논문들로 페테르부르크 학술원 논문지는 그의 사 후 50년동안 먹고 산다. 가우스가 자신의 논문 발표에 극히 신중했던 것과는 대조된다.

 

오일러 이후의 수학 논문들은 오늘날과 비슷한 행태를 취한다. 그가 이전까지의 모호한 기호들을 모두 정리하였기 때문이다. 예를 들면 자연로그 ln의 밑에 해당하는 초월수 e, 그리고 원주율을 오늘날 사용하는 그리스 문자 pi로 표시한 것, 허수를 i로 표시한 것, sin/cos/tan의 사용 등이 그것이다.

 

오일러가 연구한 내용은 수학에 관심이 없는 분들도 종종 접한다. 예를 들면 붓을 떼지 않고 그릴 수 있는 도형 문제 (Eulerian trail), 해석학 분야의 gamma function 에 관한 연구, 정수론의 오일러 phi 함수에 관한 연구, 제타함수와 소수와의 관계에 대한 공식 연구, 기하학과 위상 수학 분야의 연구 (볼록 다면체(convex polyhedral)의 꼭지점, 선, 면에 관한 관계식) 그 외에 전자기학, 유체역학 등 참으로 다양한 분야에서 그의 이름을 접할 수 있다. 아래에 몇가지만 나열해 보자.

 

2004년 physics world라는 journal 지가 많은 과학인들을 대상으로 조사한 역사상 가장 위대한 공식 1 위는 오일러 공식, Euler eidentity가 차지한다.

 

위의 공식에는 초월수 자연 상수 e, 원주율 pi, 허수 i, 그리고 0과 음수의 개념, 삼각함수 sin/cos의 개념 모두가 단 하나의 방정식에 모두 포함되어 있다는 의미에서 수학의 역사를 가장 함축적으로 내포하고 있는 공식이다.

 

물리학 공부를 해 본 사람들은 감마함수를 대부분 들어본다. 수리 물리에서 여러 특수 함수를 배우는데, 그 함수들은 모두 수학계의 거장들이 만든 것이다. 다른 말로는 새로운 함수 혹은 수열을 만들면 수학 대가의 반열에 오른다. 감마함수는 factorial 이라고 부르는 정수에서 정의된 함수 f(n)=n!=n(n-1)(n-2)…1을 일반적인 실수의 경우로 확장한 함수를 의미한다. 이것을 interpolation problem이라고 부른다. 감마함수는 다음과 같이 정의된다. 원래의 감마함수는 양수만 정의되는데 반해, 오일러는 음수로 이를 확장한다. 수학자들은 이렇게 특정 정의구역에 정의된 함수를 전체 수체계로 확장하는 것을 즐겨한다. Interpolation problem은 정수에 대해 정의된 함수를 실수 전체로 확장하는 문제를 말한다.

 

 

초끈이론 혹은 강력이론에서 beta 함수는 상당히 중요하다. 베타함수는 아래와 같이 감마함수와 관련되며, 이 또한 오일러에 의해서 최초로 연구되고 이어서 Legendre가 연구하고  Binet이라는 수학자가 베타함수라고 이름짓는다. 

 

Veneziano라는 물리학자는 강력을 설명하는 S 행렬 이론의 산란 진폭이 베타함수와 밀접하게 관련이 있음을 발견하여 우연치 않게 끈이론을 때이르게 세상에 등장시킨다. 평행우주를 쓴 미치오 카쿠에 의하면 끈이론은 21세기말에나 나왔어야 할 이론인데, 20세기 중반에 갑툭튀를 한 것이다. 원시인들에게 시계가 던져지니, 한동안 어리둥절하다고 정체를 발견하지만, 끈이론을 제대로 풀 수 있는 수학적 도구의 개발은 아직도 요원하다.

 

오일러는 convex polyhedral(볼록 다면체) 연구를 진행하여 정다면체의 점/선/면에 관한 규칙인 오일러 정리 V-E+F=2라는 공식을 만든다. 이 또한 위상 기하학의 가장 중요한 공식 중 하나이다. 위상기하학은 모양이 다른 공간들의 본질적인 구조에 대해서 설명하는 학문이다. 예를 들어, 머그컵을 살펴보면 아래와 같이 공간을 변형하면 도너츠와 같은 모양으로 변환이 가능하다. 즉, 그 두개는 모양은 다르지만 본질적으로 같은 공간이라는 것이다. 위상 기하학에서는 구멍의 개수를 세는 것이 중요하기에 이를 homology라고 한다.

 

오일러는 조화 수열(1+1/2+1/3+…)에 관한 연구를 확장하여 정수론, 소수이론 연구의 핵심적인 내용을 발표한다. 이전 포스팅에서 얘기한 데로, 조화수열을 일반적인 지수승의 합으로 확장한 제타 함수를 도입하고 제타 함수의 값과 소수와의 중요한 관계식을 도출한다.  

 

위의 증명과정이 너무나 간단해서 놀랍고, 그 과정이 또한 너무 익숙하기에 놀란다. 이것은 어렸을 때, 종종 소수를 구하는 과정을 단순히 확장한 것에 불과하다. 즉, 2의 배수를 지우고, 3의 배수를 지우고 … 이것을 에라토스테네스의 체라고 부른다. 아래 그림을 어렸을 때 종종 그려봤을 것이다.

 

그 연구를 이어받아 리만은 1859년 베를린학술원 가입논문으로 <주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여>라는 정수론 분야에 획을 그을 논문을 발표한다.