자신을 인식하는 물질, 존재와 의식... 자연철학적 접근

특수 상대성이론을 얘기하라고 하면 대부분은 "광속에 가깝게 진행하는 방향으로 길이가 수축되고, 그 공간의 시간이 느려지고 질량은 증가한다. 종합하면 E=mc^2 끝".. 이라고 대답한다. 물론 끝이 아니다. 특수 상대성이론의 핵심은 4차원 시공간, 시간이 허수축인 minkowski 공간의 이해와, 그 공간에서의 회전변환인 로렌츠 변환을 이해하는 것이다. 4차원 시공간에서의 회전에 대해서 로렌츠 변환 행렬에 따라 변환되는 물리량을 4-vector라고 부르며, 변환에 불변인 스칼라 값을 로렌츠 스칼라라고 부른다. 보통은 4-vector의 길이가 그에 해당한다. 4 momentum은 (?, px, py, pz) 혹은 (?, p)로 주어진다. 즉, 시간축을 제외한 나머지 3개의 성분은 우리가 흔히 얘기하는 운동..

우리는 흔히 3차원 공간과 이와 분리된 시간이라는 뉴턴 역학점 관념에 익숙해져있다. 이 공간에서 갈릴레이 변환에 대해서 불변인 물리법칙을 생각하면 재미있는 생각에 이를 수 있다. 만약 우리가 엄청 빨리 달려서 빛과 동일한 속력으로 움직인다면 어떤 현상이 발생할까? 빛 혹은 전자기파는 시간적으로 변화하지 않고 공간적으로 필드의 변화량만 존재하는 현상을 관측한다. 즉, dynamics가 사라진 전자기학을 관측할 수 있다? 그러한 현상을 관측한 적이 있는가? 맥스웰 방정식은 예전에 알갱이라고 생각한 빛이 실제로는 전하가 유발하는 전자기파와 동일하다는 것을 얘기한다. 맥스웰의 전자기 방정식은 2차 편미분 방정식, 파동 방정식이 도출되는데, 그 의미는 전자기파는 매질 없이 3차원 공간을 매질에만 의존하는 빛의 속..

어제 2020 노벨 물리학상 수상자가 발표되었다. 특이하게도 천문학계의 형이상학인 블랙홀 이론에 관한 연구에 주어졌다. 아마 호킹이 몇년만 더 버텼다면, 당연히 호킹이 수상하지 않았을까? 어제 수상자 중 가장 impact있는 분은 당연 "로저 펜로즈"박사이다. 펜로즈의 삼각형은 위와 같이 생겼다. 현실에서는 존재할 수 없는 삼각형이다. 얼핏 뫼비우스의 띠를 연상케 한다. 요 그림의 아이디어를 에셔(Escher)가 가져가서 아래 그림을 그리고, 이것에 영감을 받아서 인셉션에서 비슷한 장면을 연출한 것은 널리 알려진 얘기일 것이다. 에셔가 기억이 나지 않아도, 손과 손이 마주 잡고 있는 그의 그림은 누구나 한번쯤은 봤을 것이다. 그러나, 그 외에 펜로즈가 어떤 연구를 하였는지 잘 아는 밴친 분들은 많지 않을..

일반 상대성이론에서 행성의 운동은 geodesic line을 따른 등속운동이다. 우선 태양이 수성보다 훨씬 질량이 크기에, 태양이 주변 공간을 휘게 하고, 그 휘어진 공간의 geodesic line을 구하면 된다. 태양만이 존재한다고 혹은 태양의 질량이 dominant하다고 가정하면 태양 주변은 원형 대칭의 Schwartzschild metric space로 묘사될 수 있다. 이 경우, line element(선요소)는 다음과 같이 주어진다. 아래에서 두번째 라인은, 수성의 운동이 평면에서 주어진다고 가정하고 그 평면상의 metric을 구한 것이다. 휘어진 4차원 시공간에서 존재들은 모두 광속으로 이동한다. 이것은 관측자가 바라보는 시간이 아니라 자신의 고유시간으로 측정한 것이다. 고유 시간에 대해서 물..

케플러의 법칙을 유도해 보자. 먼저, 고등학교에서 배운 타원의 방정식을 잠시 리뷰해 보자. 타원은 2개의 초점으로 부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합이다. 그 합은 장축의 길이에 해당하고 2a라고 두자. 그리고, 장축의 길이 대비 두 초점 사이의 거리의 비를 이심률(eccentricity) e라고 부른다. 흔히 타원의 방정식을 a^2/x^2+b^2/y^2=1로 cartesian coordinate에서 정의한 것만 기억하지만 실제로는, polar coordinate (r,theta)영역에서 표현하는 것이 유용하다. 그러면 polar coordinate에서의 타원의 방정식은 아래그림으로부터 쉽게 유도가 가능하다. 케플러의 3개의 법칙은 논술 문제에서도 종종 출제된다. 타원궤도의 법칙, 면적속도 일정의 법..

특수 상대성이론에서 일반 상대성이론으로 갈아타는 것은 general covariance 의 원리를 충실히 따르면 된다. 먼저, 상대적으로 쉬운 flat Minkowski 공간의 운동 방정식을 tensor form으로 기술한다. 그 방정식의 좌표를 일반적인 좌표로 변환하고, 편미분을 공변미분으로, 그리고 일반적인 적분을 metric을 포함하는 invariant volume form으로 변환한다. 끝이다. 고전적인 중력은, 질량에 의해서 생긴다. 질량은 주변에 중력장을 만들고, 중력장은 중력 포텐셜의 미분으로 표시된다. 이것을 수식으로 표현하면 아래와 같은 라플라시안 방정식으로 표현된다. 아래 수식의 의미는, 질량이 중력장을 만든다이다. 이전 포스팅의 결과를 위의 방정식에 적용해 보자. 이전 포스팅에서 me..

일반 상대성이론에서는 휘어진 4차원 시공간을 얘기한다. 휘어진 시공간에 대해서 무엇을 얘기할 수 있을 것인가? 휘어진 시공간에서 관성의 법칙이 무엇인지를 얘기할 수 있을 것이다. 즉, 평면에서의 관성의 법칙은 직선 운동을 의미한다. 물리학은 무엇을 얘기하는가? 대칭과 대칭에 따른 보존량을 얘기한다. 이 말의 의미를 정확히 이해한다면 물리학에 대해서 어느 정도는 관심이 있는 분일 것이다. 왜 평면에서 외력이 없으면 직선 운동을 하는가? 우리의 시공간이 병진 대칭성 (translation symmetry)가 있기 때문이고 그에 따라 운동량이 보존되기 때문이다. 휘어진 공간에서 존재들은 외력이 없다면 곡선운동을 한다. 휘어진 구간의 두 지점 A와 B사이의 가장 길이가 짧은 경로를 따라 존재들은 움직이고 에너지..

일반상대성이론에 따르면 존재들은 주변 공간을 휘게 만든다. 3차원 공간에 익숙한 우리들에게 그 휘어진 방향은 어디에 대한 것이냐고 질문하면 대답이 어렵다. 4차원 시공간도 상상이 어려운데, 휘어진 4차원 시공간이라니.. 시간이 휘어져 있다는 것의 의미는 과연 무엇일까... 휘어진 것은 시간이냐, 아니면 네 마음이냐... 육조 혜능의 명언이 생각난다. 어쨌던 그렇게 휘어진 공간에서 존재들은 모두가 광속으로 휘어진 면을 따라서 이동한다. 휘어진 공간의 속력을 얘기하는 것은 극히 조심해야 한다. 자주 얘기하지만 이 말의 진정한 의미를 깨달은 사람이 많지는 않은 것 같다. 일반 상대성 이론의 본질과도 직접적으로 관련된 말이다. 우리가 속력을 얘기할 수 있는 구간,, 모든 존재들이 4차원 시공간에서 광속으로 흐른..