자신을 인식하는 물질, 존재와 의식... 자연철학적 접근

===================== Derichlet 함수는 유리수일때 1, 무리수일때 0인 함수이다. 이 함수는 적분이 가능한가? 라는 질문을 던질 수 있다. 먼저 밑변을 잘게 쪼개고, 높이를 곱하고.. 하려고 하니 문제에 부딪힌다. 왜냐하면 아무리 잘게 쪼개도 그 구간에는 무한한 갯수의 유리수점과 무리수점들이 존재하기 때문에 높이란 것을 어떻게 잡아야 할지 결정할 수 없기 때문이다. 이것을 수학적으로 그 함수는 Rieman integral 하지 않다고 얘기한다 (monotone convergence theorem, MCT가 성립하지 않은 대표적인 예로 해석학 책에 소개된다). 그러면 이 함수를 적분할 수 있는 방법은 없을까? 프랑스 수학자 앙리 레옹 르벡(Henri Leon Lebesgue, 18..

유클리드 기하학의 제 5 공준인 평행선 공준 "선밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 유일하게 존재한다", 은 유클리드 자신도 이것을 공준으로 포함시켜야 할지 말아야 할지를 고민했을 정도로, 그것이 꼭 필요한 공리인지에 대해서 말들이 많았고, 실제로 많은 정리들을 5공준을 사용하지 않고 증명하였다. Gauss는 그 공준이 반드시 필요하지 않다는 것을 진작에 알고 있었고 그것이 필요없는 기하학을 이미 생각하였으나, 어리석은 중생들이 그 얘기를 이해하지 못하고 귀찮게 할 것을 우려하여 발표를 하지 않는다. 때가 흘러 "야노시"라는 수학자가 평행선이 무한개가 존재하는 공간인 쌍곡선기하 "보여이-로바체프스키 기하학"을 발표하였으나, 이미 가우스와 로바체프스키가 자신보다 먼저 연구를 했다는 내용에 실망한다..

Edward Witten 은 뉴질랜드 수학자 Jones와 함께 1990년, 수학계의 노벨상인 Fields medal을 수상한다. 올림픽처럼 4년마다, 40세 이하에게만 수여되기에 세상에서 가장 유명한 문제를 풀었다고 하는 와일스도 41세의 나이로 수상을 실패한(대신 fields 특별상 수상) 그 상을, 당대 쟁쟁한 수학자들을 모두 물리치고 수상한다. 전무후무한 일이며, 향 후로도 그런 일이 생길 것 같지는 않다. 수학자들의 자존심이 걸린 문제이기도 하기 때문이다. 그들의 공통된 업적은 knot theory에 관한 것이다. Knot(매듭) K는 3차원 공간의 closed curve를 말한다. 수학적으로는 “smooth embedding of the one sphere S1 onto R³”라고 한다. 2개의..

1. 다양체, Manifold 우리가 사는 세상의 공간은 실제로 질량에 의해서 휘어져 있다. 인간들은 이러한 비선형적인 공간을 직접적으로 다루기에는 아직 지능이 많이 부족하기에 그 공간을 조각조각 내어서 그것을 평면에 펼쳐서 연구하는 방식을 취한다. 부드럽게 휘어진 공간, 그래서 그 공간의 어떤 점을 잡더라도 그 점 주변을 n차원의 평면공간, n차원 유클리드 공간 Rn으로 근사화할 수 있다면 그 공간을 다양체 (manifold)라고 부르고 그 공간의 차원을 n이라고 한다. 우리가 사는 지구의 표면도 바로 2차원 다양체이다. 이제 m 차원 미분 다양체의 수학적 정의를 적어보자. 정의는 복잡해 보이지만, 우리가 구면인 지구를 평면인 지도로 바라보는 것을 상상하면 그렇게 어렵지 않은 정의이다. 우리가 직접 m..

위상공간에서 “connected space”라고 하면, 그 공간을 2개이상의 disjoint non-empty open subset의 합집합으로 표현할 수 없을 때를 말한다. 만약 위상 공간 내 임의의 두 점 x, y 를 연결하는 연속 함수 f : I → X, I=[0,1] unit interval 가 존재하는 경우, 그 공간은 “path-connected space”라고 한다. Path-connected → connected이지만 그 반대는 아니다. 그 예를 찾기가 쉽지는 않지만, 수학책에 자주 나오는 예가 아래 그림의 위상 정현파 곡선 (topologist sine curve)이다. 아래 그림의 곡선은 S={(x,sin(1/x)): 0

1. Homotopy 사면체(혹은 육면체, 팔면체..)와 구와 위상동형이다. 그들은 전혀 모양이 다른데, 어떻게 동형인가? 그 말을 얘기하려면 위상적으로 동형이라는 말의 의미를 명확히해야 할 것이다. 우리가 사면체를 적당히 주물럭하면 구를 만들 수 있다. 그러나 구와 도너츠는 위상 도형이 아니다. 구를 적당히 주물럭하면 도너츠를 만들수 있지 않나? 적당히는 어떤 의미인가? 사면체를 X, 구를 Y라고 하고, f:X→Y인 continuous function f가 존재하면 X~Y, X is homotopic to Y라고 부른다. 아래 그림에서 왼쪽은 가운데에 구멍이 있고, 오른쪽은 없다. 오른쪽에서loop β를 연속적으로 변형하여 α를 만들 수 있고, 더욱 변형하면 한 점으로 만들고 다시 연속적으로 변형하면 ..

대수학의 기본정리 (d’Alembert’s theorem)는 f(x)=a_n x_n + a_(n-1) x_(n-1)+… +a_0 = 0 이라는 모든 n차 방정식은 복소수상에서는 최소 1개의 해를 가진다는 것이다. 그런데 그 한 개를 분리하면 다시 n-1차 방정식이 되기에 결국은 n차 방정식은 복소수상에서 n개의 해를 가진다는 간단한 얘기를 하고 있다. 그러면 예를 들면 f(x)=(x-1)^2은 2개의 해를 가지지 않는데? 라고 누군가 질문할 수 있다. 이를 위해서 수학자들은 multiplicity 의 개념을 도입하여 multiplicity를 고려하면 n개의 해를 가진다고 얘기한다. 다른 말로는 그 방정식의 해는 1-ε, 1+ε의 두 해를 가지지만 ε가 무한소로 작아질 수 있다는 의미에서 2개의 해를 가진..

현대대수학의 ring구조에 대한 두번째 글이다. 내용은 많이 복잡하니, 현대 대수에 관심이 없다면 전혀 읽을 필요가 없다. ============================ 9. Euclidean domains 정수 환 Z의 모든 ideal은 principle ideal이다. (증명: I 가 Z의 ideal이라면, 그 중 가장 크기가 작은 원소 b∈I 가 존재할 것이다. Ideal의 정의상 bZ⊂I 이다. a∈I인 원소 하나를 고르면, 정수이기에 a=bq+r (r=0~b-1) 로 rd is another common divisor then, there should be some irreducible g which doesn’t belong to (a1~at) or (b1~bt) but divisor o..