클리포드 대수

물리학을 공부하다 보면 만나는 여러 대수들을 간단히 살펴보자. 내용은 조금 어려울 수 있지만, 이전 포스팅에서 clifford 대수 얘기가 나와서 관련이 있을 내용이라 추가 게시한다.

0.복소수

숫자는 대수와 관계가 있다. 예를 들어 root(2)라는 수는 x^2-2=0이라는 방정식(대수)의 해에 해당하는 어떤 수이다. 유리수 체계에서는 답이 없기에 인간들은 무리수라는 수체계를 만든다. 정수와 유리수는 실질적으로 거의 유사한 구조를 가진다. (Z,Z), 즉 2개의 정수의 조합에 해당하는 숫자가 유리수이다. 무리수는 그러한 개념으로 설명할 수 없는 수이다. 유리수와 무리수가 실수체계를 이룬다. 유리수는 셀 수 있을 무한개의 숫자이지만, 무리수는 셀 수 없는 무한개의 숫자이다.

이제 x^2+1=0이라는 방정식을 생각하자. 이 방정식은 실수체계에서는 답이 없다. 이 방정식의 답을 x라고 하면 a+bx 혹은 (a,b)는 실수 2개로 구성된 수체계이고, 이것을 우리는 복소수라고 부른다. 현대 대수학을 배우면, 이렇게 이상한 많은 수들을 만들어 본다. 그러한 수들로 연산을 잘 할 수 있는 대수적 구조인 field (Galois) theory를 배운다.

SO(2)는 실수 2차원 공간의 회전 변환을 표현하는 그룹이다. 즉

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만약 절대값이 1인 복소수를 다른 복소수에 곱하면 2차원 복소공간 (실수, 허수)에서 회전을 하게 된다. 즉, 복소수는 2차원 공간의 회전 변환 그룹 SO(2)와 등가 관계에 있다. U(1)과 SO(2)가 대수적으로 동일하다는 것이다. 수학적으로 기술하면

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이러한 개념을 확장하면, 복소수와 동일한 대수적 구조를 가진 행렬을 복소수와 1:1대응시킬수 있다. 이러한 1:1 대응 관계를 iso-morphism이라고 하며, 그러한 두 구조는 사실상 동일한 것의 다른 표현에 불과하다. 수학적 추상성의 이해, 인간이 동물과 차별화되는 가장 큰 차이일 것이다. 2개의 전혀 다른 모양의 것을 인간들은 추상적인 공간에서 동일한 것으로 인식할 수 있는 능력이 있다.

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1.복소수의 확장: Quaternion 수.

입자 물리에서 흔히 SU(3), SU(2), U(1)이라는 얘기를 많이 한다. SU(3)는 quark의 내부적인 구조, rgb혹은 flavor 공간의 회전대칭성을 표현하는 변환그룹이고, SU(2)는 Weak force, Iso-spin 공간의 회전 대칭성을 표현하는 변환 그룹, U(1)은 전자기장을 생성하는 게이지 대칭성을 표현하는 변환 그룹이다. SU(2)는 대수적으로 quaternion이라는 수체계와 동일하다 (아래 내용 추가). Quaternion은 complex 숫자를 확장한 숫자로 복소수로 2차원 공간의 회전을 표현하듯이 3차원 공간의 회전을 표현하기에 편리하기에 computer graphic 같은 분야에서 흔히 사용된다. Quaternion은 다음과 같은 연산 규칙을 가진다.

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입자 물리의 이해에는 U(1), SU(2), SU(3)라는 대수적 구조를 이해해야 한다. 이미, 여러 번 포스팅을 하였기에 그 용어 자체에는 충분히 익숙해졌을 것이다. SU(2)는 special unitary group을 의미한다. special이란 determinant가 1이라는 의미이고, unitary 란, 복소 공간에서 회전 변환을 의미한다. 수학적으로는 아래와 같이 정의된다.

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이러한 정의를 만족하는 변환을 의미하는데, 행렬 표현으로는 아래와 같이 다양한 형태로 표시할 수 있으며, 4개의 basis로 표시가 된다. 양자 역학에서 파울리 행렬은 자주 등장한다. SU(2)의 basis에 해당하기 때문이다.

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2. Clifford 대수

Dirac의 gamma marix는 Clifford algebra를 구성한다. 이번에는 그 대수적 구조를 살펴보자. 먼저, Clifford algebra의 정의는 아래와 같다. 나머지는 그렇게 독특한 것이 아니고, e_a들이 basis들의 generator라는 것과, {.,.}연산자가 정의된 것이 다른 대수 구조와 차이가 있다.

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Clifford algebra의 몇가지 예를 보면, real (cl_0), complex(cl_01), quaternion(cl_02), matrix(cl_2)등 아주 다양한 대수 구조들을 포함하고 있다.

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3. 파울리 행렬

양자역학에서, 그리고 이전 포스팅에서 많이 살펴본 Pauli matrix에 대해서 알아보자. 아래 수식을 살펴보면, 파울리 행렬은 Clifford Cl_3즉, 2x2 복소 행렬의 generator matrix에 해당한다.

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또한 파울리 행렬에 i를 곱한 행렬들은 quaternion 수의 행렬 표현에 해당한다 (혹은 그냥 –i를 곱하는 방법도 있다). 즉, 아래와 같이 mapping을 하면, 행렬들을 숫자처럼 다루면, quaternion수를 표현한다. 즉, Cl_3의 내부에 Cl_02의 quaternion이 포함되어 있다.

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또한, 파울리 행렬은 대칭 Lie그룹 SU(2) (복소 2차원 공간의 회전 혹은 실수 3차원 공간의 회전 변환)의 generator su(2) Lie algebra의 basis이다. Su(2)는 대각행렬의 합이 0(tracless)이고, 2x2 antihermitian행렬로 구성된 공간이다. 그 공간은 수식으로는,

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수학책을 보면 SU(2)는 SO(3), SU(2)그룹은 변환은 즉 3차원 회전 변환으로 이루어진 변환 그룹과 2:1 관계의 iso-morphism임을 알 수 있다. 혹은 SU(2) double covers SO(3).

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4. Dirac gamma 행렬

상대론적인 슈뢰딩거 방정식으로는 크게 Klein-Gordon 방정식과 Dirac방정식이 있다. K-G 방정식은 시공간 변수에 대한 2차 미분 형태의 방정식이기에 그 해를 구하면 음의 확률이 나오게 되는 문제에 봉착한다. 확률이 음이 될 수는 없기에 이를 해결하고자 디락은 획기적인 접근법, 즉 전자를 행렬로 기술하는 대담한 시도를 하며 그 결과는 1차 방정식의 형태가 되어 음의 확률의 문제를 해결한다. 그러나, 여전히 음의 에너지 문제가 발생하고 이를 설명하고자 Dirac sea라는 개념을 소개한다. 또한, 디락 방정식에는 필연적으로 반입자가 등장하게 되는데 수년 후, 실제로 양전자가 발견되어 세상을 놀라게 한다.

디락의 방법은 K-G 방정식을 인수분해하는 것이다. 그런데, 숫자로는 절대로 인수분해가 될 수 없기에, 여러가지의 복잡한 행렬이 등장한다.

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위 방정식에서 b와 g은 왜 필요한가? 왜냐하면 그것이 없으면 절대 위의 관계를 만족시킬 수 없기 때문이다 (즉 인수분해가 안되기 때문이다). 그리고, 그 값이 scalar 값, 즉 어떤 실수값인 경우도 절대로 위의 형태로 인수분해가 안되고, 그것이 인수분해가 되려면 그 두 값은 행렬 형태로 주어져야 하며 특정한 수학적 구조를 만족해야 한다. 이렇나 수학적 구조, 즉, {.,.}연산을 가진 대수 구조체를 Clifford algebra라고 부른다.

디락 행렬 혹은 gamma matrix는 4x4 행렬이고 그것들은 Clifford algebra를 만족시키는 행렬들이다. Clifford algebra에 대해서는 나중에 상세히 설명하기로 하고, 그 대수적인 구조를 먼저 간단히 기술해 보자. 아래 수식에서 보듯이 gamma matrix는 Pauli 행렬로부터 정의된다.

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