상대성이론에서 얘기하는 전자기학

특수 상대성이론의 마지막 얘기.. 전자기학을 특수 상대성이론에서는 어떻게 텐서로 기술하느냐에 관한 얘기이다. 수식이 많아서 덕후가 아니면 쫓아오지 못할 것이다.

 

이전에 얘기한데로 인류는 오래전부터 자석에 대해서 알았다. 그리고 전하의 존재와 전하를 전선에 흘리면 빛을 만들 수도 있음을 알았다. 우연한 실험에 의해서 자석 주변을 흐르는 전류가 자기장의 방향을 없앰을, 반대로 자기장의 변화는 전기장의 변화를 가져옴을 알았다. 이 여러가지의 흥미로운 얘기들은 인류의 지성이 발달함에 따라 하나로 합쳐지기 시작하고 그 완성은 Maxwell이라는 위대한 과학자에 의해 이루어진다. 

 

전자기학은 Maxwell의 단 4개의 방정식, Maxwell equation의 이해를 하는 학문이다. 보통 전자공학과 2학년 1학기에는 시간 불변인, 즉, static field에 대해서 다룬다. 전기장과 자기장이 시간에 따라 변하지 않으면 전파를 발생시키지는 않는다. 다만, 주변에 전기장과 자기장을 펼칠 뿐이다. 2학기에는 dynamic field에 대해서 배우며, dynamic field에 의해서 전기장과 자기장은 상호 작용하면서 매질이 없이, 에너지 손실 없이 영원히 우주를 떠돌아 다닐 수 있다. 그 중 하나.. 주파수가 Terahertz정도인 초초초고주파 신호를 우리는 빛이라고 부른다.

 

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다시, 복잡한 수식의 글을 올린다. 아래의 글을 이해하기 위해서는 이제까지의 업이 싸여 있어야 하기에 그렇지 않으면 그냥 지금 가볍게 skip 하면 된다. 깊이있게 이해하고 싶은 밴친 분들은 내용을 보시면 되겠다. 스스로 정리하는 의미로 올리지만, 그래도 그나마 이해를 돕기 위하여 이미 알고 있는 부분도 수식으로 같이 정리해 본다.

 

전자기학은 여러 번 얘기한데로 고전적으로는 아래 4개의 Maxwell 방정식에 의해서 기술된다. 우리가 지구속으로 빨려들어가지 않는 이유가 아래 4개의 수식으로 설명된다. 우리 몸의 원자들과 지구의 원자들 간의 전자기 반발력 때문이다.

 

 

첫번째 방정식은 좀 전에 설명한 데로 전하가 (퍼져나가는) 전자기장을 만든다는 것을 의미한다. 두번째 방정식은 자기장의 세계에는 N극만이 존재할 수 없다, 즉 자기 단극자 (magnetic monopole)가 없다는 의미이다. 세번째 방정식은 패러데이의 법칙이며 자기장의 변화는 전기장을 유도한다는 의미이다. 마지막은 자기장은 전류 혹은 시간에 따라 변화하는 전기장에 의해서 생성된다는 의미이다.

 

위의 방정식과 vector calculus의 여러 성질들을 이용하면, (이과생이라면 한두시간 시간 투자를 하면), Maxwell의 파동방정식을 유도할 수 있다. 빛의 움직임은 아래 방정식을 풀면 이해가 가능하다.

 

위에서 v는 속도이고, 네모는 d’Alembert operator라고 불리는 4차원 시공간의 Laplacian operator이다. 이 방정식이 발표되었을 때, 사람들을 어리둥절하게 만든 부분이 있다. 위의 제일 마지막 결론, 광속이 이동 공간의 매질에만 의존한다는 (mu와 epsilon에만) 사실이었다. 그렇게 되면, 기존의 갈릴레이의 상대성 원리에 위배되기 때문에, 많은 이들이 Maxwell 방정식이 잘못된 것이 아닌가라고 생각했다. 로렌츠는 이러한 모순점을 해결하기 위하여 상대성 이론을 상당부분 연구했으나, 마지막 영광은 기존 관념을 과감하게 버리는 선택을 한 아인슈타인이 가져간다.

 

양자장론의 이해에는 전자공학과에서 배우는 위와 같은, 고전적인 방식의 기술이 아니라, 지금부터 설명할 텐서 기반의 수식을 이해해야 하고, 아주 익숙해야 장론의 이해가 가능하다. 텐서를 모른다면, 아무것도 할 수 없다. 양자장론에서 전자기현상은 아래와 같은 Lagrangian으로 묘사된다.

 

여기서 F는 전자기 텐서라고 불리는 4x4 행렬인데, 아래와 같이 정의된다. 첫번째 index가 시간이고, 나머지 3개가 각각 x,y,z 를 나타내므로, 시간축과 관련된 곳에 전기장이, 공간축과 관련된 곳에 자기장을 배치한 것이며, 아래에서 보듯이 anti-symmetric, 반대칭 행렬이다. F의 첨자가 아래 위에 있음에 따라, 행렬이 달라짐을 알 수 있다.

 

원래의 Maxwell 방정식은 전기장 E와 자기장 B로 기술된다. 그러나, 물리학자들은 E와 B로 기술하는 것보다 Potential field 로 묘사하는 것이 편리함을 알게되었다. 앞서의 라그랑지안에서 A로 표현되는 것이 electromagnetic 4-potential field이다. 즉,

 

라그랑지안을 적분하면 Action이라고 부르는 값이다. 밴드에서 수차례 얘기한데로, 우주의 모든 존재들은, action이 변하지 않는, stationary action principle 방향으로 이동한다. 그것을 기술하는 방정식을 EoM(equation of motion), 운동방정식이라고 부른다. 라그랑지안이 주어진 경우, EoM은 변분법 (variation method)를 이용하면 풀 수 있다.

 

수식이 복잡해 보이지만, 사실 미적분학의 chain rule 하나만 적용한 단순한 식이다. 마지막에 적은 것이 Maxwell Lagrangian으로부터 유도된 photon입자의 움직임을 기술하는 equation of motion이다. 여기에 실제 앞서 정의한 Lagrangian을 대입하면 아래와 같이 예쁜 공식을 얻는다.

 

위 방정식은 Maxwell 방정식의 전기장과 관련된 2개의 공식을 표현한다. 즉,

 

그러면 나머지 2개의 방정식은 어디로 갔는가? 이것은 전자기 텐서의 정의로부터 유도되는 Biancci identity라는 방정식으로부터 유도되며 (실제로 대입해 보면 그렇게 어렵지 않게 아래 식이 성립함을 알 수 있다.

 

위의 관계식에 따라, 나머지 Maxwell 방정식 2개를 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

 

이것이 물리학자들이 기술하는 텐서 표기법의 맥스웰 방정식이다. 양자장론을 이해하기 위해서는 위의 수식적 표현에 익숙해져야 한다. 그렇지 않다면, 수식적으로 양자장론을 이해하기는 어려울 것이다.