복소해석학의 대가, 코쉬

해석학 책을 보다보면 반드시 만나게 되는 여러 수학자들이 있다. 그 중 한명이 위대한 프랑스 수학자 Cauchy이다. 복소 적분 이론에서 Cauchy 의 이름은 계속 접한다 (거의 혼자서 다 정리한 듯한 느낌이다). 또한, 수열의 수렴, 함수의 연속성 등, 수학의 개념적 엄밀함을 정립하는데 지대한 공헌을 한 천재 중 한명이다. 원래 토목 공학을 전공하고자 하였으나, 라그랑주와 라플라스의 조언으로 수학을 선택한다. 나무위키의 얘기에 따르면, 어렸을 적, 수학에만 관심을 보여서 모국어를 못 할까봐 금지시킬 정도의 외골수였다고 한다. 사실 천재라고 불리는 많은 인간들이 편집증이나 약한 자폐 증상을 가지고 있다.

 

그러한 고집은 그의 정치성향에서도 드러나는데, 루이 필리프왕이 왕위에 즉위했을때, 자신에게 충성하라는 서약을 하라고 하는데, 그냥 종이 한장에 거짓말이라고 sign만 하면 되는데 죽어라고 고집을 피우다가 이탈리아로 추방된다.  그의 대부분의 수학적 업적이 이 피난기에 이루어진다. 가족까지 버리고 피난을 가서, 사실 할 일이 수학 연구하는 것 밖에 없었을 것이다. 항상 그렇듯이, 인류의 위대한 발견은 대부분 고독한 장소에서 이루어진다. 위대한 발견을, 아니면 인생에 대한 소박한 직관이라도 가지고 싶다면.. 사람들과의 평범한 교류를 피하시길 ^^

 

Gauss(Karal Friedrich Gauss, 1777-1855) 와 동시대에 살았고 Euler 다음으로 논문을 많이 쓴 수학자이며, 30페이지의 논문을 매주 보내와서, 출판사에서 이제 4페이지 이내로 줄이지 않으면 출판비때문에 못 받겠다고 할 정도였다. 그에게서 시작한 이 페이지수 제한 규정은 오늘날까지도 프랑스 수학학회에 내려져오고 있다. 가우스가 자신의 연구 내용을 거의 논문으로 발표하지 않은 반면 Cauchy는 평생에 789편이란 논문을 혼자서 작성하는 괴력을 발휘하고, 동시에 출판사들의 미움을 받는다. 또한 그의 연구 업적의 완성도가 들쭉날쭉이라 가우스의 신중함과 대조되어 비판받는다.

 

천재는 천재를 알아보지 못한다고 했나... 불운의 천재 아벨의 대수학 논문과 연구는 가우스와 코시 모두에게 무시당하고 27살이라는 어린 나이에 아벨은 기아로 인한 폐결핵으로 사망한다. 수백년 동안 풀지 못한 '일반적인 5차 방정식이상 방정식의 일반적인 해법은 없다"라는 문제를 이제까지와는 전혀 다른 개념의 군 이론으로 증명했는데, 아무도 그 업적을 알아보지 못한다.

 

또한 10대에 이미 group/field theory를 총정리한 천재 갈로아의 논문을 분실하는 어처구니 없는 실수를 저지른다. (다시 논문을 Fourier에게 보내지만, 이제 그 논문 한번 봐야겠다…고 한 날, Fourier가 갑자기 죽는다. 운명은 이렇게 얄궂기도 하다.나중에 다른 위대한 천재인 Lie가 그 업적을 이어받아 Lie 대수학을 완성한다.

 

오늘날 양자역학/입자물리를 이해하려면, 또한 상대성원리를 그룹이론적으로 깊이 이해하려면 Lie 대수학의 이해는 필수적이다. 불쌍한 아벨이지만 2002년에 그의 이름을 딴 아벨상이 만들어진다. 40세 미만의 나이에만 주어지는 필즈상과는 달리 아벨상은 주로 노령층에게 수여된다. 평생의 업적을 고려하기 때문이다)

 

오일러와 가우스가 새로운 이론의 연구에 관심이 많았다면 코시는 기존 수학의 명증성, 엄밀성 확보에서 큰 기여를 한다. 함수의 연속성 (epsilon-delta), 미분/적분 가능성, 수열의 수렴성 (Cauchy sequence), 해석 함수(cauchy riemann equation), 복소 적분 (Cauchy integral formula) 등 다양한 분야에서 큰 업적을 남긴다.

 

 

 

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이공계 출신이면 Cauchy-schwartz 부등식을 들어본 분들이 많다. 두 벡터의 내적의 제곱은 각 벡터의 길이의 곱보다 작다는 평범한 이론인데, 수학적 증명과정에서 자주 적용되는 유명한 공식이다. 불확정성의 원리도 아래 부등식으로 증명한다. 사실 너무 trivial 한 내용이라 왜 이것이 그렇게 유명해졌는지 자체가 의문이긴 하다. 내용은 아래와 같은 수식으로 설명된다.

 

그리고, 두 행렬의 곱의 행렬식은 각 행렬의 행렬식의 곱과 동일하다는 것도 증명한다.

 

그리고 해석학 (mathematical analysis)에서 Cauchy sequence를 정의한다. Cauchy sequence란 어떤 수열이 수렴하면서 그들 사이의 거리가 계속 줄어드는 수열을 의미한다. 수학적으로는

 

만약 어떤 집합 내에 모든 Cauchy sequence가 수렴하고 수렴 점(limit point) 자체가 다시 그 집합에 속하면 그 공간을 complete metric space라고 부른다. 즉, 빈 점이 있으면 안된다는 얘기이다. 실수 공간에서 0을 제외한 공간은 complete하지 않다. 또한, 실수 집합은 complete하지만, 유리수의 집합은 complete하지 않다. 어려운 논술 시험 등에서 이 개념을 종종 묻는다. 예를 들면 아래 수열은, Cauchy sequence이고, 값들은 계속 유리수이지만, 수렴은 root(2)이다. Root 2는 유리수가 아니기에 유리수의 집합 Q는 조밀하지 않다. (set of rational number is not complete)