라플라스

 

갈릴레이, 케플러, 데카르트, 뉴턴으로 연결되는 인지 혁명은 종래의 신의 의도에 의한 목적론적인 세계관을 서서히 붕괴시킨다. 물론, 뉴턴 자신이 독실한 성공회 신자로 실제로 종교 관련 저서도 여러 편이 있었다는 점에서 또 하나의 아이러니이기도 하다. 최소한 천상의 움직임, 별들의 움직임에서 신이 개입할 여지는 사라졌다. 인간들은 날아가는 공의 궤도를 정확히 예측하고, 그 공이 자신의 자유의지에 따라 운동할 수 없음을 알았다.

 

만약 우리가 우주에 있는 모든 원자들의 초기 상태, 즉 위치와 운동량을 알고 있다면, 그러한 것을 알고 있는 악마 같은 존재가 있다면 현재의 모든 현상을 설명하고 미래에 발생할 모든 일들을 예측할 수 있을까? 결정주의적 철학관, determinisom에서 종종 얘기하는 “라플라스의 악마”라는 말이 있다. 만약 우주에 있는 모든 원자들의 정확한 위치와 운동량을 아는 존재가 있다면 뉴턴의 운동법칙으로 과거와 현재, 미래 모두를 알 것이다. 즉 미래는 이미 정해져 있다라는 가설이다. 하이젠베르그의 불확정성의 원리로 그 악마는 사라진다.

 

피에르 시몽 라플라스(1749~1827)는 단연 가장 위대한 수학자 중 한 명이며, 라플라스의 악마, 라플라스 방정식, 구면 조화 함수(Spherical harmonic function) 라플라스 변환(Laplace transform), 라플라스 분포 등, 수많은 분야에서 업적을 남기고 도처에서 그의 이름을 접한다. 초보자들이 다루는 대부분의 미분 방정식은 라플라스 변환이라는 기법을 익히면 순식간에 풀 수 있다. 이공계생이라면 푸리에 변환(Fourier transform)과 함께, 라플라스 변환을 피해갈 수는 없을 것이다.

 

라플라스는 16세에 캉 대학에 카톨릭 신학을 공부하러 입학했으나 곧 수학으로 관심을 돌린다. 그 후 1769년 17세의 나이로 당시 유명한 수학자인 달랑베르를 찾아간다. 그는 어린 녀석이 자꾸 찾아오자 두꺼운 수학책을 던져주고 다 읽고 이해하면 찾아 오라고 했지만 며칠뒤 라플라스는 바로 그를 찾아간다.

 

10대후반에 대수학을 완성한 갈로아, 역사학을 전공하다 1년만에 물리학 전 과정을 모두 마친 에드워드 위튼, 1905년 20대의 나이로 현대 과학의 가장 중요한 3가지 문제를 모두 해결한 아인슈타인…, 이렇게 진화의 과정에서 다양한 돌연변이들이 탄생한다. 또 한명의 천재, 라플라스는 프랑스의 뉴턴이라고 불렸다. 1799년 프랑스 혁명으로 보나파르트 나폴레옹이 권력을 잡자 1799년, 수개월전부터 열심히 찾아오던 라플라스를 내무부 장관으로 임명한다.

 

천재가 모든 것을 잘한다고 생각하면 그것이야 말로 큰 오산이다. 가방 끈 긴 인간들이 세상을 말아먹은 수많은 사례들이 있듯이, 자리에 맞지 않게 온갖 꼼꼼한 일들을 모두 트집을 잡았기 때문에… 행정 능력 0점으로 바로 1개월만에 짤린다. 그 후, 나폴레옹의 세력이 쇠퇴하자 바로 부르봉가로 붙어서 후작으로 승격된다.

 

라플라스의 주요 업적은, 라플라스 변환이다. 미적분의 복잡한 문제들은 모두 s 영역으로 옮겨서 계산 후 다시 시간영역으로 돌아오면 간단해진다. 전자공학, 물리학, 수학영역 모두에서 중요한 변환이다. 또한, 르장드르와 함께 구면조화함수 (spherical harmonic function)을 완성한 것이 두번째이고, 마지막으로는 라플라스 방정식을 제안하고 연구한 것이다. 그 외에도 라플라스 분포, 라프라스-벨트라미… 등등 수학자로서 많은 업적을 남겼다.

 

 

 

아래에는 그의 업적 중, 몇 개만 나열했지만, 수식이 많기에 그냥 skip 하시는 것이 정신 건강에 좋을 것이다.

 

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물리학의 많은 문제는 라플라스 방정식의 형태로 표현된다. 전자기 방정식도 아래와 같이 potential 에 대해서 Laplace equation으로 표현되며 E나 H 필드에 대해서는 파동방정식으로 기술된다. 4차원 시공간의 Laplace 방정식을 D’alembert (달랑베르) operator라고 부른다. 아래에서 보듯이 4각형으로 표시한다.

 

다른 문제로는, 양자역학의 대표적인 방정식으로 상대론적인 슈뢰딩거 방정식은 Klein-Gordon equation이 있다. 이것도 라플라스 방정식의 형태로 표시된다. 원래의 슈뢰딩거 방정식은 상대성이론과 어울리지 않는다. 그 이유는 시간과 공간을 다른 취급을 하기 때문이다. 즉, 시간에 대해서는 1차 미분이고 공간에 대해서는 2차 미분이며, 시간에 해당하는 operator가 없기 때문이다. 공간(위치)에 대한 operator는 존재한다.

 

물리학과 전자 공학에서 가장 중요한 연산 중 하나는 Fourier 변환이다. 이것은 어떤 신호 혹은 입자의 위치나 시간 영역에서의 기술을 운동량이나 에너지의 축에서 분석할 수 있게 해 주는 중요한 수식이다. 수식적으로는 다음과 같다.

 

푸리에 변환을 더욱 확장하여, 푸리에 변환이 존재하지 않는 경우에도 해석이 가능하게 한 라플라스 변환이 있는데 수식적으로는 아래와 같다.