약력

 

물리학을 공부하면 재미있다. 극복하기까지는 숱한 고비를 넘겨야 하지만, 일단 극복하면 정상에 오른 기분을 잠시 만끽할 수 있다. 곧, 저 편에 다른 봉우리가 보일때까지 말이다. 불행히도 그 기분을 함께 맛볼 수 있는 동도는 몇 명 안되는 것 같다.

 

1956년의 CP violation은 물리학계를 뒤흔들만큼의 충격을 주었다. 실험 후 1년만에 두 중국 물리학자들은 노벨상을 수상한다. 노벨상 역사상 유례가 없는 스피드이다. 거울에 나를 비추니, 나와 다르게 행동하더라.. 놀랍지 않은가?

 

약력은 입자들의 모습 바꿈을 얘기한다. 중성자가 양성자로, up quark가 down quark로 등등등… 약력의 작용이 없었다면 원자핵은 유지가 될 수 없고, 따라서 세상은 존재하지 않을 것이고 태양은 빛을 발하지 못하고, 지금 이 글을 쓰는 나도 존재하지 않을 것이다.

 

이번 포스팅은 약력에 관한 복잡한 수학적 얘기를 한다. 2008년 노벨상은 고바야시, 마스카와라는 두 일본인 물리학자에게 주어진다. 아래 글에서 CKM 행렬을 만든 두 사람이다. 일견, 너무 단순해 보이는 3x3 행렬... 그것으로 인해서 약력의 큰 문제, CP 대칭성 파괴 문제의 많은 부분이 해결된다.

 

세상에는 무엇인가 존재한다.. 그 무엇인가 중 의미가 있는 부분은 물질이다. 내가 이 글을 쓸 수 있는 이유도 나를 이루는 물질이 존재하기 때문이다. 어떻게 물질과 반물질의 대칭성은 파괴되고 반물질은 물질로 모습을 바꾸었을까... 사하로프 박사가 3가지 조건을 얘기한다. 그 중 하나가 CP 대칭성 파괴이다. 약력이 있었기에 세상에 무엇인가가 존재하는 것이다.

 

당연히 아래 글을 이해할 수는 없다. 업이 쌓이지 않았기 때문이다. 인연이 되면 언젠가는 그 업이 쌓일 것이고, 그렇지 않다면 그냥 지나갈 것이다.

 

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표준 모형의 이해는 표준 모형에서 얘기하는 라그랑지안의 의미와 게이지 변환 규칙에 대한 이해이다. 물론, 수식적으로 이해하고자 할 때를 얘기한다. 약력을 이해하기 위한 라그랑지안은 아래 수식과 같다. 좌측부터, 게이지 보존 필드, 페르미온 입자 필드, 힉스 필드, 마지막으로 그들간의 상호 작용인 유가와 항이다.

 

L은 겔만 행렬, sigma는 파울리 행렬, G, W, B는 8개의 글루온 필드, 3개의 WZ보존과 Hypercharge 보존을 의미한다. 약력에서 겔만 행렬은 필요가 없다. 강력은 (r,g,b)공간에서의 SU(3) 대칭을 얘기한다. 약력은 SU(2)xU(1)에 대해서 얘기한다. 그러나 CP 대칭성 파괴 때문에 좀 더 복잡한 얘기를 해야 한다.

 

이 중 페르미온 입자에 관한 라그랑지안을 다시 자세히 보자. 페르미온 입자는 3세대로 구성된다. 이것이 말 그대로 어떤 시간적인 존재의 순서를 얘기하지는 않는다. 그냥 3가지 flavour의 입자들이 존재한다는 의미이다. 아래에서 Q는 quark field를 나타내고, 이것은 color space상에서 (r,g,b), flavour space상에서 (u,c,t) 혹은 (d,s,b) 형태로 존재한다. 그리고 (u,d), (c,s), (t,b)는 다시 Iso-spin space를 형성한다.

 

위에서 W+, W-등은 weak boson 임은 이미 알고 있다. 그리고 이것들은 이전 포스팅에서 얘기한 힉스 메커니즘에 따라 질량을 부여받는다. 질량은 보존의 힘을 제한하여 원자핵 내에서만 은밀히 서로간에 소통하게 만든다. 그렇지 않으면 세상은 붕괴된다.

 

이제 오늘 얘기할 Yukawa 상호 작용항이다. 장과 장의 상호 작용을 나타내는 항이다. 유가와 히데키.. 어떤 입자 물리학 책이든 그의 이름을 피할 수 있는 방법은 없다. 일본인 물리학자 중, 물리학계에 엄청난 영향을 준 두 사람이 "유가와 히데키"와 "요이치로 남부" 박사이다. 왜 그러한 상호 작용항이 존재하는가… 그것은 중요하지 않다. 그렇게 해서 물리적 현상들이 설명이 되고, 그렇게 해서 다음 작용이나 새로운 입자의 출현이 예측되면… 물리학자들은 만족한다. 인간이 감히 어떻게 우주의 본질을 알려고 하는가? 가소로운 얘기일 뿐이다.

 

위에서 Y 행렬들은 quark 혹은 lepton flavour mixing을 나타내는 3x3행렬들이다. 쿼크들은 flavour 공간상에서 모습을 바꾼다. (d,s,b)는 mixing 하여 (u,c,t) 쿼크로 모습을 바꾼다. 도대체 왜?... 의미 없다. 

 

그 중의 한 항만 적어보자. 아래 수식을 보면 엄청 복잡해 보인다. 그러나, 하나하나 살펴보면 그렇게 복잡하지는 않다. 힉스장과 Iso-spin doublet이 결합하여 scala 값을 만들고, 쿼크들 간의 결합을 위해서 Y 행렬이 도입된다. 아래를 얼핏보면, 마치 라그랑지안이 행렬이 될 것 같은데, 그럴리는 없다 (사실은 아래 수식이 정확하지 않다). 라그랑지안, 그리고 그 적분인 action은 scalar여야 한다.

 

Higgs장의 대칭파괴(SSB)의 결과는 아래 수식과 같다. 아래에서 v라고 부르는 진공 기대치, 그 존재 때문에 존재들은 질량을 획득한다. 다른 말로는 Higgs장이 이상하게 생긴, 멕시코 모자 형태이기 때문이다. 그리고 힉스장은 double이다. 좌측과 우측 입자들의 소통을 위해서이다. 

 

질량은 입자장의 제곱에 비례하는 상수이다. 위에서는 M 행렬이 대각행렬이 아니기에, 질량의 의미가 모호해진다. 따라서 위의 M 행렬을 대각화해서 원래의 질량의 의미를 회복해야 한다. 행렬의 대각화는 선형 대수학에서 이미 많이 다루는 문제이다. 대각화 후의 라그랑지안은 다음과 같다

아주 복잡한 수식을 거쳤지만, 사실 notation만이 복잡할 뿐, 그냥 단순한 행렬 계산식일 뿐이다. 이제 이렇게 구한 대각행렬에 대해서 원래의 fermion 입자장의 라그랑지온을 구해보면

 

위에서 V_CKM 행렬을 Cabibbo-Kobayashi-Maskawa Mixing matrix라고 부른다. 이 복잡한 수식의 의미는 아래 그림과 같은 약력 현상이다. 여기에서 down 혹은 upquark는 다른 flavour로 변신을 한다. 아래에 flavour mixing중 Vud에 관한, 즉, up/down quark간의 모습바꿈만을 그림으로 나타내었다.

 

바로 베타 붕괴를 나타내는 그림이다. 태양이 활활 불탈 수 있는 이유이다. 그리고, 이 모든 수식들은 자연의 편파성을 드러낸다. 자연은 때로는 엔트로피를 통해서 공정함을 때로는 왼손잡이만 선호하는 불공정성을 드러낸다. 그러나, 그 모든 공평/불공평의 조화가 있었기에 내가, 우리가, 공허하지만, 짧고 달콤한 추억을 만들 수 있는 것이다.