사영공간

아핀 평면(Affine plane)은 점과 선으로 구성되고 두 점으로 유일한 직선이 지정되고, 직선은 최소 2개의 점을 가지고, 직선위에 있지 않은 한점을 지나면서 그 직선을 지나지 않는 유일한 직선이 지정되고(Playfair’s axiom), 한 직선위에 있지 않은 세 점을 지정할 수 있다는 공리들이 성립하는 공간이다. 바로 유클리드 공간이 대표적인 아핀 공간이다.

이 개념을 유한체 기하학에 응용하면 유한체 유클리드 공간의 개념을 확장한 아핀 공간을 정의할 수 있다. 유한체 기하학에서 직선은 유한개의 점들로 구성되며 2개의 직선은 한점에서 만나며 평행한 두 직선이 존재한다. 또한 한 직선에 있지 않은 점을 지나며 그 직선과 평행한 직선이 유일하게 존재한다(playfair’s axiom). 어떤 세개도 한 직선위에 있지 않은 4개의 점이 존재한다는 공리를 만족시킨다. 아래는 아래는 9개의 점과 12개의 직선으로 구성된 3차의 (한 직선위에 3개의 점들이 존재) 아핀 공간이다.

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2. 곡선의 분류: 사영 공간

곡선의 성질을 연구하고 싶다. 그러나, 곡선의 종류는 너무 많다. 예를 들어 직선의 방정식을 보자. f(x,y)=ax+by+c=0 을 만족시키는 어떠한 것들도 직선을 표현한다. 그러나, 우리는 직선을 모두 표현하고 싶은 것이 아니라, 직선이라는 것의, 그 본질적인 것의 성질에 관심이 있다. 그러면 예를 들어 x+y-1=0과 x+y=0의 차이는 있을까? 없을 것이다. 둘다, 기울기가 -1인 직선일 뿐이다. 직선이 어디에 있느냐가 본질적인 질문이 아니라면, 우리는 일단, 모든 직선이 원점을 지난다고 가정할 수 있다.

그러면 f(x,y)=ax+by 로 변수 하나가 줄어든다. 이제, 다시 생각해 보자. y=x 와 2y=2x는 다른 직선인가? 분명히 (a,b)=(1,1) 과 (2,2)이니 달라보이지만 그 둘은 본질적으로 같은 직선이다. 즉, (x,y)와 (kx,ky)는 모두 같은 직선이라고 생각한다 (equivalence relation). 2차원 공간에서 원점을 지나는 모든 직선은 y=1이라는 직선 혹은 {(x,1),x는 실수} 와 오직 한점에서 만난다. 즉, (x,y)~(x/y,1) 이라면 본질적으로 (x,y=1)위의 한 점이 하나의 직선들에 1:1 mapping 된다. 단, x축은 y=1과 만나지 않는데, 이것은 무한대에서 만난다고 가정하기에 사영 공간에는 무한대라는 점이 포함되어 있다. 무한대는 x축을 나타낸다. 이것을 다르게 표현하면 x^2+y^1=1 이라는 원을 그리고, 그 위의 원점 대칭인 두 점이 같은 직선을 가르킨다는 가정을 하면, 원위의 한 점이 직선 하나에 대응한다.

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어떤 2변수 2차 함수 g(x,y)=(a)(x^2)+2(b)(xy)+2(c)(x)+(d)(y^2)+2(e)(y)+f=0 이라는 곡선을 생각해 보자. 이것은 아래와 같이 행렬 표현을 할 수 있다. 아래에서 z라는 변수를 추가한 이유는, 2차함수를 사영공간에 배치시키기 위해서이다. 즉, (x,y,z)와 (kx,ky,kz)는 모두 동일한 직선상의 점으로 인식시키기 위함이다. Z를 추가함으로써 각 항들이 모두 2차항이 되어 scaling이 자연스럽게 이루어짐을 알 수 있을 것이다. 즉, (x,y,z)~(kx,ky,kz)의 관계에 있다.

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위에서 Q는 대칭 행렬이므로 항상 대각화가 가능하고, 따라서, 변수들끼리 서로 섞이는 경우를 선형 변환을 통해서 제거할 수 있다. 제거 후 각 항에 곱해지는 것은 Q행렬의 고유치(eigen value)들인데, 그것들은 변수 치환을 통해서 normalize 가능하므로 2차함수들은 본질적으로 다음과 같은 5가지 형태만이 존재한다.

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결론은, 2차함수는 다양한 표현이 가능하지만, 본질적으로 unit circle와 간단한 변환 관계에 있는 도형들 외에는 없다. 따라서 2차 함수에 대해서는 원의 성질만 정확하게 이해하면 다른 도형들의 성질은 파생적으로 알 수 있다.

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3. 타원 곡선: Weierstrass form
타원을 표현하는 다양한 방법이 있지만, 앞에서 보았듯이, 변수들간의 선형적인 변환에 의해서 비교적 간단한 본질적인 형태로 나타낼 수 있다. 그 형태가 Weierstrass form이다.

3.1. Nonsingular, Nondegenerate Curves

타원 곡선에 특이점이 존재한다는 얘기 즉, f(x,y)=0 가 (x,y)에서 singular 하다는 얘기는 그 점에서 곡선의 접선(tangent line)이 정의될 수 없는 경우를 의미한다. 그 경우는 아래와 같은 세가지 경우가 존재한다. 각각 cusp, intersection, isolated point들이 존재하는 경우들이며 각 곡선의 예는, y^2=x^3, x^3+x^2, x(x+1)^2 인 경우들이며, 모두 gradient=0인 경우에 발생한다. 중근이 존재하는 경우들이다.

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타원곡선 f(x,y)이 f(x,y)=g(x,y)h(x,y)와 같이 인수분해가 되는 꼴이면 이 경우 f(x,y)가 degenerate(축퇴)되었다고 얘기한다. 그렇지 않은 경우 non-generate하다고 얘기한다. 예를 들면 x^2-y^2=0은 (x-y)(x+y)로 인수분해되므로 degnerate된 형태이다.

3.2. If f(x,y) is nondegenerate, nonsingular cubic polynomial, then f(x,y)=0 can be represented by y^2=x^3+ax+b where discriminant 4a^3+27b^2 is not zero.

증명: 간단한 경우만.. 일반적인 경우는 복잡하니, 아래에서 만약 characteristic of K가 2 혹은 3이 아닌 경우만 살펴본다. Characteristic=n이란 K의 1을 n번 더하면 0이되는 수를 말한다. 예를 들어 로 나눈 나머지들로 구성된 그룹 z_5의 경우, 1+1+1+1+1=0 (mod 5) 이므로 char(z_5)=5이다. R혹은 C의 경우 char(R or C)=infinity이다.

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위의 여러 논의들의 결과는 타원곡선에 관한 이해를 위해서 모든 Elliptic curve를 모두 조사할 필요가 없이, Weierstrass form의 Elliptic curve만 조사하면 된다는 것 즉, y^2=x^3+ax+b 형태만 연구하면 된다.

이러한 타원 곡선의 종류도 무지무지 많고 동일한 타원 곡선의 경우에도 그 표현이 다양하게 주어질 것이다. 타원 곡선 상의 다양한 표현은 그들 사이의 변환 관계인, Isogeny에 의해서 표현될 수 있기에 Isogeny, dual-isogeny, isomorphism, j-invariance 등 에 대한 이해가 필요하다. Iso-geny에 대한 이해와 그 용어에 대한 설명에 충분히 익숙해지면, 유한체 상의 타원곡선의 해의 개수의 경계를 설명하는 하세 베유 정리는 짧게는 3~4줄, 길게는 20줄 이내에 증명이 가능하다.