해밀토니언, 해밀턴 역학

오늘날 양자 역학 (quantum memchanics)을 들어보지 못한 이는 한 명도 없을 것이다. 우리가 사용하는 모든 전자 기기의 가장 밑바탕에는 양자 역학적인 원리가 작동한다. 우수한 인재들이 지원하는 Caltech, 캘리포니아 공과대학에서는 문이과를 통틀어 양자역학은 모든 학생들이 필수적으로 수강해야 한다 (물론, 이미 내용을 잘 안다거나 기타의 사유로 면제는 가능하다). 상대성이론과 양자역학은 우리가 세상을 바라보는 관점을 혁명적으로 바꾼다. 물론, 이것은 그 내용을 아는 분들에게만 해당한다.

 

양자 역학의 핵심 방정식 중 하나는 슈뢰딩거 방정식이다. 문과생들도 흔히 슈뢰딩거의 고양이, 밀폐된 방에 갖힌 살아있으면서도 동시에 죽어있는 이상한 세상의 엘리스, 를 인용하곤 한다. 슈뢰딩거 방정식을 제일 간단하게 축약하면 다음과 같다. 왼쪽이 있는 H는 아래에 간단히 소개할 해밀턴이라는 수학자가 정의한 Hamiltonian이라는 연산자(operator)이다. H는 간단히는 양자의 전체 에너지(운동에너지 + 위치에너지)에 해당한다. 양자역학에서는 모든 물리량을 어떤 파동함수에 연산을 취한 평균값이라는 이상한 개념으로 소개한다.

 

 

=================================

 

해밀턴(Walliam Rowan Hamilton, 1805-1865)은 1805년 아일랜드 더블린의 변호사의 막내로 태어난다. 그러나 12/14세에 어머니/아버지를 잃고 작은 아버지인 해밀턴 목사에게서 자란다. 3살 때 영어, 5살에 라틴어/그리스어/히브리어를 8살에 이탈리아/프랑스어, 13살때는 동양어에 능통하여 신동으로 불린다.

 

12세에 콜번이라는 암산왕을 만나서 수학에 관심을 가진 후, 15세에 트리니티 대학 교수인 보이턴 교수를 만난다. 교수가 빌려준 책 중 라그랑지와 라플라스에 매료되어 졸업 후, 대학원생인 상황에서 바로 천문학 교수로 발탁된다. 수학을 전혀 모르던 문학 소년이 순식간에 당대 최고의 수학/천문학을 마스터하고 심지어는 라플라스 이론의 오류를 밝혀낸 것이다. 때로는 이처럼 돌연변이 같은 천재들이 존재한다.

 

예를 들어, 현존 최고의 물리학자이자 측정 불능의 IQ를 가진 에드워드 위튼의 경우 역사학학사 출신으로 민주당 선거운동원으로 활동하다가 우연히 물리학을 접한 후, 1년 반만에 물리학을 정리하고 1976년 25세에 프린스턴 박사학위를 받는다. 그의 프린스턴 추천서는 단 한 줄, “얘는 천재다. 뽑든 말든 너들 맘데로 해라” ^^.

 

우리가 흔히 복소수라고 알고 있는 수는 (실수, 실수) 즉 2차원 실수 공간  (R,R)을 z = x + iy라는 형태로 표시한 것이다. 그리고, 그 체계 안의 두 수는 복소수 대수(연산) 체계를 따라야 한다. 그러면 이러한 질문을 할 수 있다. 왜 (R,R,R) 혹은 (R,R,R,R)같은 3/4차원 실수 체계는 안되는 거야? 그 생각에서 계속 연구를 하여 4원수 즉 A=x+i y + j z + k w라는 4차원 수(x,y,z,w)를 만들어낸다. quarternion이라고 불리는 수이며, 이것은 물리학과 그래픽 분야에서 중요한 수이다. 3차원 공간의 회전 변환을 quarternion으로 표현하면 쉽게 회전 변환이 가능하다.

 

 

해밀턴 본인은 4원수의 개념을 세운 것을 가장 큰 업적이라고 여겼지만, 실제로 물리학에서 그의 이름은 Hamiltonian mechanics로 더 유명하다. 양자역학의 슈뢰딩거 방정식을 단 한 개의 수식으로 쓴다면 Hf(x,t)=Ef(x,t)이다. 좌측의 H가 Hamiltonian이라고 불리는 값이며 H=운동에너지 + 위치에너지, 즉 전체에너지 연산자로 주어진다. 또한 Tensor라는 용어를 만들었으며 아래에 보이는 nabla 기호를 만들었다. 그래디언트를 나타내는 아래 기호는 이공계생 혹은 문과생들이라도 많이 경험한다. 또한 선형대수학이란 과목을 들으면 Cayley-Hamilton 정리를 반드시 듣게 된다.

 

컴퓨터 공학과의 “알고리듬” 혹은 “자료구조론”이라는 과목이 있다. 그 과목에서는 주어진 문제가 있을 때, 컴퓨터가 이 문제를 풀 수 있게 만드는 과정, 알고리듬에 어떤 종류가 있는지, 그 알고리듬의 성능평가는 어떻게 해야 하는지 배운다. 말이 나온김에, 알고리듬은 “알 콰리즈미” 라는 수학사에 유명한 페르시아 수학자의 이름에서 나온 것임을 이전에 얘기했으니 살짝 상기하셔도 좋다.

 

알고리듬 연습 문제 중 하나도 해밀턴의 이름을 빌린다. “해밀턴 싸이클 혹은 해밀턴 경로 문제”라고 부른다. 주어진 꼭지점들을 한번씩 지나는 경로가 존재하는지, 그것을 컴퓨터로 어떻게 찾을 것인지를 질문한다. 이것을 푸는 효과적인 방법은 존재하지 않고 NP-complete 문제 중 하나로 알려져 있다. 1857년에 해밀턴이 제안한 문제이다.

 

 

그의 이름이 가장 많이 나오는 분야는 사실, 수학 분야가 아니라 물리학 분야이다. 이전 포스팅에서 얘기한데로 F=ma는 일반인들이 역학 문제를 이해하는 방식이고, 실제로 공학도들은 라그랑지안이나 해밀토니안 역학으로 문제를 해결한다. 그 둘은 서로 간단한 변수 변환(르장드르, Legendre transform)을 하면 되기에 실제로는 비슷한 얘기를 하고 있다.

 

 

이전 포스팅에서 소개한데로 자연계에서 존재들은 어떤 물리량을 최소화하려는 방향으로 운동한다. 빛의 굴절문제에서 최단 경로, least time 방향으로 빛이 휘어지며 이것을 페르마의  최소 시간 경로라고 부른다고 소개하였다. 해밀턴은 이를 확장하여, 자연계에서는 라그랑지안의 적분 값, 즉 action이라고 부르는 값을 최소화하는 방향으로 운동의 방향이 결정된다는 Least action principle, 해밀턴 원리를 얘기하고, 이것은 현대 물리학이 자연, 우주를 기술하는 가장 핵심적인 원리 중 하나이다. 만약 물리학에 관심이 있다면, 라그랑지와 해밀턴의 이름은 귀가 따갑게 듣게 될 것이다.