수성 근일점 문제 2

 

 

 

오늘은 수성 근일점 문제 계산을 위한 전초 작업, 왜 별들은 타원 궤도를 도는지를 수식적으로 유도한다. 1페이지 정도의 수식이고, vector calculus와 complex variable을 이해해야 따라갈수 있기에, 쫓아가실 분들은 거의 없을 것이다. 하지만 만약 일반 상대성이론의 수성 근일점 문제를 쫓아가실 분이라면, 오늘의 수식 유도 결과가 연결되므로 반드시 쫓아가야 한다.  

 

케플러의 법칙을 유도해 보자. 먼저, 고등학교에서 배운 타원의 방정식을 잠시 리뷰해 보자. 타원은 2개의 초점으로 부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합이다. 그 합은 장축의 길이에 해당하고 2a라고 두자. 그리고, 장축의 길이 대비 두 초점 사이의 거리의 비를 이심률(eccentricity) e라고 부른다.

 

흔히 타원의 방정식을 a^2/x^2+b^2/y^2=1로 cartesian coordinate에서 정의한 것만 기억하지만 실제로는, polar coordinate (r,theta)영역에서 표현하는 것이 유용하다. polar coordinate에서의 타원의 방정식은 아래그림으로부터 쉽게 유도가 가능하다.

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케플러의 3개의 법칙은 논술 문제에서도 종종 출제된다. 타원궤도의 법칙, 면적속도 일정의 법칙, 조화의 법칙의 세가지가 그것들이다. 이것들의 유도가 간단한 것처럼 보이지만, 실제로 해 보면 그렇게 간단하지 않다. 아래에 그 과정을 쫓아가보자. 한 페이지 정도의 수식으로 증명이 가능하다.

 

아무런, 수학적 도구가 없던 시절, 모든 도구들을 개발하면서 천상의 법칙을 증명한 Newton은 천재중의 천재일 수 밖에 없으며, 그 당시의 모든 지식인들이 그를 칭송할 수밖에 없음을 느낄 수 있다. 행성들의 궤도가 원형이 아니라는 사실은 꽤나 충격적인데, 수식을 쫓아가보면, 원이 되는 경우가 도리어 아주 특수한 경우임을 알 수 있다. 설사 처음에 원 운동으로 시작했더라도, 주변 행성들의 작은 요동, perturbation에 의해서 바로 타원 궤도로 안정화됨을 쉽게 예상할 수 있다.