수성 근일점 문제 3

 

 

이제, 수성 근일점 세차 현상을 설명하는 마지막 게시글을 올린다. 일반 상대성 이론 얘기가 나오니, 당연히 수학적으로 따라가기가 조금 어려울 수 있지만, 실제로는 고전역학에 관한 얘기이다. 이전 포스팅에서 케플러 법칙에 따라, 수성은 타원궤도를 이루면서 태양을 돈다. 타원궤도의 2개의 촛점중 하나에 태양이 위치한다.

 

수성이 태양주변을 타원 궤도로 돈다고 상상해 보자. 수성과 태양 외, 아무런 방해물이 없다면 고전 역학적으로는 공전 주기 후 정확히 수성은 시작한 자리로 돌아온다. 그것을 가능하게 하는 힘은, 태양과 수성의 만유인력, 태양이 수성을 돌리는 힘이다. 

 

그러나, 우리가 잘 알고 있듯이, 태양은 주변의 시공간을 휘게 만들고, 그 휘어진 공간에서 수성은 등속 운동을 한다. 태양에서 가까워지면 중력으로 시간은 느리게 가고, 멀어지면 시간은 빨리간다. 이렇게 휘어진 시공간에서 수성이 공전 주기를 거치면 원래의 자리로 돌아오지 않는다. 즉, 수성의 geodesic line을 따라 이동하면 그것은 closed curve가 아니라 일정 각도 틀어진 상태가 된다. 이것이 바로 근일점의 세차운동으로 나타난다. 이제, 정량적으로 이를 계산해 보자. 아래 부분부터는 수식이 어려우니 여기서 밑줄을 긋는다.

 

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일반 상대성이론에서 행성의 운동은 geodesic line을 따른 등속운동이다. 우선 태양이 수성보다 훨씬 질량이 크기에, 태양이 주변 공간을 휘게 하고, 그 휘어진 공간의 geodesic line을 구하면 된다. 태양만이 존재한다고 혹은 태양의 질량이 dominant하다고 가정하면 태양 주변은 원형 대칭의 Schwartzschild metric space로 묘사될 수 있다. 이 경우, line element(선요소)는 다음과 같이 주어진다. 아래에서 두번째 라인은, 수성의 운동이 평면에서 주어진다고 가정하고 그 평면상의 metric을 구한 것이다.

 

휘어진 4차원 시공간에서 존재들은 모두 광속으로 이동한다. 이것은 관측자가 바라보는 시간이 아니라 자신의 고유시간으로 측정한 것이다. 고유 시간에 대해서 물체의 운동은 광속으로 동일하고 광속을 보통 1로 설정해서 계산하는 경우가 많으므로 아래와 같은 라그랑지안을 얻는다.

 

오일러 라그랑지 방정식은 고전역학에서는 유명한 방정식이다. 이것은 Action 을 변분법으로 미분하면 얻는 방정식이다. 이전 포스팅에서도 얘기했듯이 우주는 Action이라고 부르는 값을 최소로 하는 방향으로 움직인다. Least action principle이라고 부르며, Hamilton이라는 수학자가 얘기한 이론이다. 이제 Euler-Lagrange equation을 적어보면 아래와 같다. 두 방정식을 통해서 고유 시간에 대해서 불변인 값을 얻는다. 하나는 에너지와 관련된 양이고, 하나는 각운동량에 관한 값이다.

 

이것을 앞서 구한 라그랑지안 관련식에 대입하면 아래와 같은 심플한 결과를 얻는다. 아래 수식들에서 미분은 고유시간에 대해서 미분한 것이다.

 

이제, 케플러 법칙 증명에서 한 것과 같이, 시간에 대한 미분을 각도에 대한 미분값으로 변경하면 아래와 같은 결과식을 얻는다. 아래 마지막 식은 이전에 케플러 제 1법칙, 타원 궤도의 법칙의 공식과 거의 유사하다. 그러나 차이가 나는 부분이 있는데 바로 3Rsu^2이라는 보정항이다. 이 항은 매우 작은 값이다. 다른 항들에 비해서 10^-7만큼 작은 보정항이지만, 결정적으로 그것은 비선형 항이기 때문에 closed form으로 미분 방정식을 풀 수는 없다. 즉, 수성의 세차 운동은 일반 상대성이론이 의미하는 비선형성 때문에 발생하는 것이다.

 

이제 남은 것은 위의 방정식을 풀기만 하면 된다. 그런데, 앞서 얘기한데로 비선형 미분 방정식이기에 이것을 해석적으로 풀 수는 없고, 뒤의 보정항이 작다는 사실을 이용하여 섭동이론, perturbation 이론으로 근사적으로 풀어야 한다. 계산이 지저분하지만 쫓아가 보자. 아래 과정을 보면 해를 u0+u1으로 나우고, 먼저 perturbation이 없을 때, 즉, 교정항이 없을 때의 해 u0를 구한 후에, 이를 대입하여 u1을 구하는 방법으로 보정항 u1을 계산한다. 별로 어렵지 않다.

 

수성의 근일점이란, 태양에서 가장 가까운 점이고, 그 말은 각도에 대해서 미분하면 거리의 변화가 없다는 얘기이다. 물론, 원일점 태양에서 가장 먼 점도 각도 phi에 대해서 미분하면 0이다. 그 점을 구해 보면

 

즉, 주변의 아무런 행성이 없다고 하더라도, 일반 상대성이론에 따르면 수성의 궤도는 타원형으로 닫히지 않는다. 이것은 태양 주변의 시공간이 휘어져 있기 때문이며, 타원 궤도를 그리는 동안 거쳐가는 시공간이 다르기 때문에 나타나는 신비한 현상이다.