로렌츠 변환

 

우리는 흔히 3차원 공간과 이와 분리된 시간이라는 뉴턴 역학점 관념에 익숙해져있다. 이 공간에서 갈릴레이 변환에 대해서 불변인 물리법칙을 생각하면 재미있는 생각에 이를 수 있다. 만약 우리가 엄청 빨리 달려서 빛과 동일한 속력으로 움직인다면 어떤 현상이 발생할까? 빛 혹은 전자기파는 시간적으로 변화하지 않고 공간적으로 필드의 변화량만 존재하는 현상을 관측한다. 즉, dynamics가 사라진 전자기학을 관측할 수 있다? 그러한 현상을 관측한 적이 있는가?

 

맥스웰 방정식은 예전에 알갱이라고 생각한 빛이 실제로는 전하가 유발하는 전자기파와 동일하다는 것을 얘기한다. 맥스웰의 전자기 방정식은 2차 편미분 방정식, 파동 방정식이 도출되는데, 그 의미는 전자기파는 매질 없이 3차원 공간을 매질에만 의존하는 빛의 속력으로 움직인다는 것이다. 관측자의 속력에 상관없이 매질의 특성에만 의존하는 빛의 속력은 당연히 관측자의 운동에 무관한 상수여야 한다. 마이켈슨과 몰의 실험 소식을 들었는지 알 수 없지만, (사실 그 실험은 역사상 가장 오류가 많았던 엉터리 실험 중 하나였다) 그 실험 결과에 상관없이 이미 아인슈타인은 광속은 불병이어야 한다는 생각을 마음에 품는다. 

 

광속이 관측자의 운동에 무관하려면 시간과 공간이 로렌츠 변환의 형태로 서로 밀접하게 관련이 되어야 하며, 로렌츠 변환의 의미는 민코프스키에 의해서 4차원 시공간은 시간축이 음수여야 하는 혹은 허수축의 시간과 허수의 각도를 가지는 유클리드 공간으로 해석되어야 했다. 

 

4차원 시공간에서의 우리의 존재를 상상하면 재미있다. 모든 존재들은 광속이라는 우주 불변량으로 여행 중이다. 4차원 시공간에서 점입자들의 존재는 직선 혹은 선분이고 점입자들로 이루어진 우리들은 커다란 덩어리로 흘러간다. 아래는 그에 관한 수식적 얘기 중 일부이다. 4차원 시공간에서 존재들은 모두가 동일한 속력으로 흘러간다. 아니, 이미 그려져 있다..  이 말의 의미를 곱씹어 보면 재미있을 것이다.

 

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양자장론은 상대성이론과 양자역학의 결합을 주로 얘기한다. 즉, 상대론적인 입자의 운동방정식을 기술하는 이론이다. E=1/mv^2+V에 연산자를 대입하면 슈뢰딩거 방정식이 도출된다. 이것은 비상대론적인, 즉 입자의 운동이 느린 경우에 적용되는 식이며, 입자의 운동이 빠르거나 빛의 경우처럼 광속인 경우에는 더이상 유효하지 않고, E^2=(pc)^2+m^2c^4이라는 Einstein 의 에너지 공식에 연산자를 대입해야 한다. 그 결과는 아래/아래에 있는 Klein-Gordon 방정식이다. 

 

양자장론의 운동방정식은 상대성이론을 만족해야 하므로, Lorentz 변환에 대해서 불변이어야 한다. 즉, 어떤 속도로 등속운동을 하던지 동일한 물리법칙을 경험해야 한다. 따라서, Lorentz 변환에 대해서도 이번 포스팅에서 다시 한번 정리해 보자. 만약, 시간축으로 v라는 등속운동을 한다면, 정지 좌표계가 바라본 등속 운동 시공간은 아래와 같은 로렌츠 변환에 따라, 시간과 공간축이 휘어진다.

 

실제로, 누가 보던지 실체는 하나일 것이다. 4차원 시공간에서 존재들은 그냥 흘러가고 만나고 다시 흘러가고 할 뿐이다. 그러나, 그것을 바라보는 축이 다르기 때문에 다르게 표현하는 것이다. 정지한 사람이 바라보는 등속 운동 공간은 위와 같다. 시간은 느리게 흐르고, 운동방향으로 공간은 압축된다. 이것은, 이전에 포스팅한데로, 아래와 같이 쌍곡면상의 회전 변환에 해당한다. 

 

위에서 cosh(x)와 sinh(x)는 hyperbolic function이라고 불리며 아래와 같이 정의되며 cos2+sin2=1인데 반해서 그 함수들은 cosh2-sinh2=1인 관계를 만족시키며, 그 단순한 하나의 사실이 우주 공간을 유클리드 공간에서 4차원 민코프스키 공간으로 변환시킨다. 3차원 공간 상의 회전에 해당하는 시공간 상의 회전을 boost 라고 말한다. X, y, z 축으로 v라는 속도로 이동하게 될 때, boost를 표현하는 행렬은 아래와 같다.

 

boosting 외에도 3차원 시공간의 3개의 회전 변환이 존재하고, 따라서, 로렌츠 변환은 6개의 자유도, 혹은 6개의 generator를 가진다고 얘기한다. 만약 임의의 방향으로 이동하면 이것은 어떻게 표현될 것인가? 이것은 조금 더 복잡하다. 이를 위해서 이동 방향에 평행한 벡터와 그 방향에 수직인 벡터로 분리해야 한다. 

 

Lorentz 변환은 4차원 공간의 두 이벤트 사이의 거리, space time interval을 보존한다. 4차원 시공간의 거리는 피타고라스 정리가 아니라 아래와 같이 시간 영역의 부호가 –인 거리이다. (-+++) 혹은 (+---)의 두가지 metric signature가 있고, 책마다 서로 다른 부호를 쓰기에 헷갈리기도 한다. 변환에 대해서 거리가 보존되려면 아래와 같은 관계식이 성립하면 된다.

 

Lorentz 변환은 그룹을 이루며, 이러한 그룹을 SO(3,1) group 이라고 한다. SO(n)은 n차원 공간의 회전 변환이라고 생각하면 된다. Minkowski 공간의 회전변환이기에 4차원 공간의 변환이지만, 실제로는 3차원공간의 회전변환과 시간과 공간에 대한 boost 변환 혹은 hyperbolic space상의 변환을 포함하기에 SO(3,1)변환이라고 부른다. 이것은 아래와 같이 공간상의 회전 변환과, 시공간 간의 boost 변환으로 분리할 수 있다. 이 중, 3차원 공간의 회전 변환 SO(3)는 subgroup을 이루지만, boost 변환은 group을 이루지 못한다. 즉, x축과 y축의 회전변환을 결합하면 회전변환이지만, x축 boost와 y축 boost는 새로운 boost가 아니다.

 

회전과 평행이동 (공간 병진, space translation)을 결합하면 Poincare group을 이룬다. 푸앙카레 그룹을 다른말로는 Inhomogeneous SO(3,1), ISO(3,1) group이라고 부른다.