아인슈타인의 Field equation, 장 방정식

특수 상대성이론에서 일반 상대성이론으로 갈아타는 것은 general covariance 의 원리를 충실히 따르면 된다. 먼저, 상대적으로 쉬운 flat Minkowski 공간의 운동 방정식을 tensor form으로 기술한다. 그 방정식의 좌표를 일반적인 좌표로 변환하고, 편미분을 공변미분으로, 그리고 일반적인 적분을 metric을 포함하는 invariant volume form으로 변환한다. 끝이다.

 

고전적인 중력은, 질량에 의해서 생긴다. 질량은 주변에 중력장을 만들고, 중력장은 중력 포텐셜의 미분으로 표시된다. 이것을 수식으로 표현하면 아래와 같은 라플라시안 방정식으로 표현된다. 아래 수식의 의미는, 질량이 중력장을 만든다이다.

 

이전 포스팅의 결과를 위의 방정식에 적용해 보자. 이전 포스팅에서 metric tensor와 potential field의 관계를 아래와 같이 유도하였다. 공간이 살짝 휜 경우, 아인슈타인의 geodesic 방정식은 중력에 의한 운동을 표현한다. 아래 수식의 의미는 metric tensor가 바로 중력(포텐셜)이라는 것이다.

 

위의 관계식으로부터, 오른쪽에 있는 T항은 질량(=에너지)와 관련된 2차 텐서

rank 2 tensor 여야 하고, metric tensor의 2차 미분에 관련된 어떤 양이어야 한다는 것을 유추할 수있다. 위의 식은 2차 텐서 중 하나의 component 만의 관계식이므로 그대로 사용할 수는 없다. 보다 더 일반적인 텐서 식으로 확장해야 한다. 후보군은 다음 조건을 만족해야 할 것으로 아인슈타인은 추정했다.

 

- Weak field approximation을 만족해야 한다.

- rank-2 covariant tensor여야 한다.

- symmetric tensor여야 한다.

- divergenceless여야 한다.

 

이론적인 부분이지만, metric의 2 차 미분을 이용하여 정의할 수 있는 유일한 2차 텐서는 Ricci tensor라고 증명되어 있다. 따라서 일반적인 방정식을 위한 1차 후보는

 

좌측은 공간의 휘어짐과 관련되고, 우측은 에너지와 관계되니, 아인슈타인이 말하고자 한, 에너지가 공간을 휘게 하고, 휘어진 길의 관성 운동이 중력 가속도로 보인다는 원칙을 잘 표현한다. 

 

에너지 모멘텀 텐서 T는 4x4 행렬로 생각하면 되는데, 00성분이 에너지 밀도를, 0i, i0성분이 시간방향으로의 운동량의 흐름을, ij 성분은 공간 방향으로의 운동량의 흐름을 나타낸다. 

 

만약 오른쪽에 있는 항이 에너지 모멘텀 텐서라면 에너지 보존의 법칙을 설명할 수 있어야 한다. 이것을 표현하는 것이 연속 방정식이라고 부르는 아래 divergence 관계식이다. 좌측의 관계식이 바로 divergence를 표현한다.  아래식을 만족하기 위하여 divergence less조건을 만족해야 한다.

 

불행히도 Ricci 텐서의 divergence 성분은 0이 아니다. 따라서 첫번째 추측을 받아들이기는 어렵다. 

 

이제, Bianchi identity를 이용하면 다음과 같은 아인슈타인 텐서를 생각할 수 있으며 divergence가 0인 2차 텐서이다. 먼저, Bianchi identity는 수식적으로는 아래와 같다. 아래 수식을 이해하기 위해서는 먼저, Riemann normal coordinate개념과, torsion tensor, torsion free 조건을 이해해야 한다. 그 부분은 설명을 생략한다.

 

이제, Bianchi identity의 양변에 적절한 metric을 곱하면 아래와 같은 관계식을 얻는다.

 

제일 마지막에 구한 G_mn=R_mn-1/2g_mn R이 바로 아인슈타인 텐서라고 부르는 양이다. 이것은 마지막 수식에서 보듯이 divergence가 0으로 주어지고, 아인슈타인의 장방정식은 아래와 같은 형태로 주어진다.

 

이제 상수만 구하면 되는데, 이것은 weak field approximation으로부터 쉽게 유추할 수 있다. 즉,

 

드디어 다음과 같은 Einstein field equation이 완성되었다. 빅뱅이전에 우주는 어떤 상태였을까… 그것은 의미없는 질문일 수 있다. 증빙이 불가능하기에 무한가지의 설명이 가능하기 때문이다. 물론, 논리적 정합성이 가장 우수한 이론을 채택하려고 할 것이다. 그러나, 그렇다고 그 이론이 진리를 말하지는 않을 것이다.

 

빅뱅이전, 어떤 이유로던 지금 기준으로 보면 거의 한 점에서 온 우주( 관측 가능한 우주, 138억년) 는 시작한다. 그것이 한점이었을지, 그 안에 수많은 구조가 있었을 지 인간들은 모른다. 하여튼, 그 초기 조건에서 우주는 움직이고 있었다. 공간에 물질이 전혀 없었고 한점에만, 특이점에만 물질이 존재하였기에 공간과 시간은 한점에만 머물러 있었다. 지금 우리가 느끼는 그러한 우주는 존재하지 않았다.

 

그 우주는 급속도로 팽창하면서 4대힘이라고 부르는 힘, 혹은 힘의 장을 하나하나 부르고, 그 장은 수많은 물질들, 입자들을 생성하고, 그 입자들은 수학적인 규칙에 따라 물질을, 생명을, 의식을 만들어낸다.