대수학 기본 정리

대수학의 기본정리 (d’Alembert’s theorem)는 f(x)=a_n x_n + a_(n-1) x_(n-1)+… +a_0 = 0 이라는 모든 n차 방정식은 복소수상에서는 최소 1개의 해를 가진다는 것이다. 그런데 그 한 개를 분리하면 다시 n-1차 방정식이 되기에 결국은 n차 방정식은 복소수상에서 n개의 해를 가진다는 간단한 얘기를 하고 있다. 그러면 예를 들면 f(x)=(x-1)^2은 2개의 해를 가지지 않는데? 라고 누군가 질문할 수 있다. 이를 위해서 수학자들은 multiplicity 의 개념을 도입하여 multiplicity를 고려하면 n개의 해를 가진다고 얘기한다. 다른 말로는 그 방정식의 해는 1-ε, 1+ε의 두 해를 가지지만 ε가 무한소로 작아질 수 있다는 의미에서 2개의 해를 가진다.

현대 대수학에서는 F(x)는 polynomial algebra over a ring or a field F이다. 즉, 계수들은 field F에서 정의되고, F(x)의 두 다항식 f(x),g(x) 는 서로 더할 수 있으므로 Abelian group을 이루고, 그들과 계수 F사이에 곱이 가능하므로 (F(x) x F -> F(x)) F(x)는 module(F가 링의 경우) 혹은 vector space(F가 field인 경우)이며, 또한 f(x)g(x)와 같이 두 원소들을 곱할 수 있으므로 algebra를 이룬다.

F(x)의 계수들이 실수라고 생각해 보자. 그러면 F(x)=0의 해들은 모두 실수일까.. 당연히 아니다. F(x)=x^2+1=0의 해들은 실수공간에 존재하지 않는다. 따라서 예전에는 이 방정식의 해는 없다고 얘기하였다. 그러나, 만약 이 방정식의 해가 공간하는 대수공간이 있다면? 그러면 그 해를 x라고 부르고, F(x)/(x^2+1) 이라는 quotient field를 이루면 그 집합은 {1,x}로 generate되고,그러한 x를 i라고 부르면, 그것이 바로 복소수 대수이다. 즉, C=F(x)/(x^2+1) 이다.

이것을 다시 한번 사유해 보면, 우리는 다항식 F(x)를 어떠한 수처럼 다루고 있다. 만약 n차 다항식이라면 R x R x … x R 이라는 (R,R,…,R)에 1대 1로 mapping되는 수를 하나 생각하면 이것이 F(x)이다. 이것들은 일반적이 수처럼, 더할 수도, 뺄 수도, 곱할수도 있고, 때로는 나눌수도 있다. F(x)/(x^2+1) 즉, F(x)를 (x^2+1)로 나눈 나머지 다항식들의 집합도 또한 수가 되고, 이것들은 f(R,R)(x)=a+bx 로 표시되는데, 이것이 바로 복소수라는 얘기이다.

다시 한번 정리해보면, 우리는 x^2+1=0의 해가 존재하지 않는 세상에서 살다가, F(x)/(x^2+1) 이라는 추상적인 수의 세상을 창조하였고, 그 세상에서 x^2+1=0의 해는 존재한다. 이것은 일종의 종래의 사고체계를 뒤엎은 것이기도 하고, 그것을 dramatic 하게 확장한 것이기도 하다. 일종의 paradigm shift이다.

F(x)의 계수들이 복소수라면 어떨까? 예를 들면 F(x)=x^2 + i=0, 이 방정식의 해는 존재할까? 실수의 경우를 단순히 확장해 보면, x^2 = (-i) 의 해는 당연히 복소수 공간에서는 답이 없을 것으로 추측할 수 있다. 그러나, 여기서 놀라운 반전이 생기는데, 복소수의 세상에서는 √(-i)=exp(j3/4π)로 복소수라는 사실이다. 즉, 복소수를 계수로 가지는 모든 n차 방정식들의 해는 복소수상에서 n개의 해를 가진다. 이렇게 어떤 대수 R을 확장하여 만든 새로운 대수 C가 그 안에서 방정식들의 해를 모두 가지고 있으며, 더 이상 확장할 필요가 없을 때, C를 algebraic closure of R이라고 부른다.

이제, 다시 대수학의 기본정리로 돌아와 보자. y=f(x)=x^2+1 은 실수 공간에서는 절대로 y=0 이라는 선을 지나지 않는다. 그런데, 이것을 x=a+bi라는 새로운 대수공간에서 바라보면 y=f(a,b)=a^2-b^2+1+2abi 가 되고, 이 공간에서 그림 처럼, y=0이라는 지점을 두 점에서 지날수 있다. 즉, 우리가 바라보는 1차원 실수 공간의 세상은, 다른 추상적인 2차원 복소수 공간의 한 단면 (real 축)만 잘라서 보는 것일 수 있다는 흥미로운 view를 가질 수 있다. 이러한 2차원 복소수의 세상은 흥미로운 사실을 가지는데, 모든 다항식 F(x)는 반드시 F(x)=0이라는 점을 반드시 만난다는 것이다. 그리고, 우리가 F(x)가 0이 어떻게 만나는 지만 알면, 즉, F(x)=0의 0 crossing point만 지정하면, 다항식의 형태가 거의 유일하게 (물론, scaling만큼 차이) 결정된다는 것이다.

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이제까지의 논의는 변수가 하나인 다항식에 관한 것이다. 그러면, 변수가 여러 개인 다항식에 대해서도 비슷한 얘기를 할 수 있을까? 여기에 대해서 Hilbert’s nullstellensatz, 힐베르트의 영점 정리는 얘기한다.