위상공간

위상공간에서 “connected space”라고 하면, 그 공간을 2개이상의 disjoint non-empty open subset의 합집합으로 표현할 수 없을 때를 말한다.

만약 위상 공간 내 임의의 두 점 x, y 를 연결하는 연속 함수 f : I → X, I=[0,1] unit interval 가 존재하는 경우, 그 공간은 “path-connected space”라고 한다.

Path-connected → connected이지만 그 반대는 아니다. 그 예를 찾기가 쉽지는 않지만, 수학책에 자주 나오는 예가 아래 그림의 위상 정현파 곡선 (topologist sine curve)이다. 아래 그림의 곡선은 S={(x,sin(1/x)): 0<x<1}∪{(0,0)} 로 주어진다.

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Sin(1/x)는 (0,1] 에서 연속 함수이므로 (x,sin(1/x))는 (0,1]에서 connected이고, 만약 A가 connected이면, closure(A)도 connected라는 성질을 이용하면(증명 생략), 곡선 S는 connected space이다. 그러나, S는 path-connected space는 아니다.

만약 path-connected가 되려면, 곡선위의 두 점 (t,sin(1/t))와 (0,0)을 연결하는 연속함수 f가 존재해야 한다. 연속함수는 convergent sequence an에 대해서 f(lim an)=lim f(an)이라는 성질을 만족해야 하는데, n이 무한대로 가면 lim 1/(π/2+2πn)=0인데, lim f(an)=sin(π/2+2πn)=1이기 때문에 그러한 연속함수는 존재하지 않고 따라서 path-connected가 아니다.

Topologist curve 의 다른 확장된 형태로 Warsaw circle 혹은 Polish circle이라고 불리는 connected, but not path-connected 곡선이 있다 (1968, Karol Borsuk가 제시). W= {(x,sin(π/x)): 0<x<1}∪{(0,y)-1<=y<=1} ∪ C(ircle) 로 주어지며 아래 그림과 같다. 이것들은 S1(원)과 homotopy 인 것 같지만, 실제로는 그렇지 않다. 또한 이 곡선은 얼핏 보기에는 한 점으로 contraction이 가능할 것 같지만, 그렇지 않은 예로 수학책에 자주 등장한다.

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그 둘보다 좀 더 강한 연결은 “arcwise-connected or arc-connected space”인데, arc에서 보듯이 이것은 좀 더 부드럽게 연결되는 의미로 path-connected 에서의 연속함수가 continuous inverse, 즉 연속인 역함수도 존재하는 경우에 즉 [0,1]에서 X로도, X 에서 [0,1]로도 상호 변환이 가능할 때 혹은 f 가 continuous이면서 injective일때를 말한다. 실제로 어떤 책들은 arcwise connected = path connected로 사용하기도 한다. 만약 topological space X가 uncountable이라면 그 둘은 동일한 의미인 것으로 보인다.

만약 위상 공간 X의 모든 점들이 path-connected이고, 두 점을 잊는 모든 path가 homotopy 관계일 때, X가 simply connected라고 한다. 혹은, 위상 공간 X가 path-connected이고, 모든 loop를 한점으로 contraction 할 수 있을 때 X가 simply connected라고 얘기한다. Fundamental group은 위상공간이 simply connected에서 얼마나 벗어나는지를 알려준다.

Simply connected 라면 fundamental group π(x)={e}, 즉 trivial group이다. π(S1)=π(circle)=Z 이고, S1은 path connected이지만, simply connected 는 아니다 (원 위에 loop를 한 점으로 만들 수 없다). 반면 D2, 즉 속이 꽉찬 disk의 경우, path connected 이고 모든 loop을 그 공간내에서 한점으로 만들 수 있기에 simply connected space이다. 아래에서 구의 표면, S2공간은 simply connected
이고, Torus=S1xS1의 경우 simply connected가 아니다.

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위상공간은 어떤 집합 X와 U⊂X 이며 finite intersection 과 arbitray union(could be infinite or uncountable) 에 대해서 닫혀있는 열린집합(open set)들의 집합 U로 구성된 공간을 말한다. 일반적인 위상공간에서의 homomorphism (보통은 f(x+y)=f(x)+f(y)로 정의)은 위상 공간에서는 continuous function 으로 정의된다. 위상공간에서 연속 함수는, f:X→Y에서 U_y⊂Y일 때, f^(-1)(U_y) ⊂ U_x, 즉 열린집합의 preimage가 열린집합일 때를 의미한다.

위상공간 X의 한 점 p의 (open) neighbourhood 란, 그 안에 p를 포함하는 open set U(p)를 포함하는 부분집합 N(p)를 말한다. 즉, p∈U(p) ⊂ N(p) ⊂ X이다. 보통은 N(p)=U(p), 즉 p점을 포함하는 open set을 의미하지만 N(p)는 반드시 open 일 필요는 없으며, 만약 open set인 경우 open neighbourhood라고 부른다. 책에 따라서는 open neighbourhood를 그냥 neighbourhood라고 하는 경우도 있다. Metric이 정의된 공간의 경우는 보통 Br(p)={x∈X, d(x,p)<r}인 open ball을 잡는다.

위상공간 (X,U)의 한 점 x의 Neighbourhood basis 혹은 local basis란, neighbourhood 의 집합 B인데, 그 점 주위의 어떤 neighbourhood를 잡더라도, 그 안에 B의 원소에 해당하는 neighbourhood를 포함하는 경우를 의미한다. 말이 좀 어렵다. For each neighbourhood N of x, there is an M∈B such that M⊂ N. 예를 들어, 실수 공간 R의 원점 0은, B={(-1/n, 1/n)} 이라는 basis가 존재며, 원점 주위에 어떤 neighbourhood를 잡더라도 (-1/n, 1/n)인 neighbourhood를 잡을 수 있기에 원점에서 basis를 가진다고 얘기한다.

만약 위상공간 X의 모든 점들이 neighbourhood basis B를 가지고, B가 connected open subset이라면, 그 공간을 locally connected라고 부른다. 위상공간에서 이와 관련한 아래 3가지 명제들은 서로 동치 관계이다(증명은 생략).

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앞서 설명한 topologists sine curve, Warsaw(Polish) curve는 모두 connected space이지만, locally connected space는 아니다. (0,0)의 주변에 어떤 neighbourhood를 잡더라도, 그 구간을 확대해 보면, 연결되지 않은 수많은 곡선들이 지나가기에 locally connected space가 아니다.