대칭성

대칭성에 대한 에미 뇌터의 직관에 의해서 인류는 물리학에 대한 깊은 이해를 하게 된다. 공간 대칭성과 운동량과 의 관계, 시간 대칭성과 에너지와의 관계, 회전 대칭성과 각운동량과의 관계 등, 자연에는 우리가 보는 방향, 우리가 진행하는 방향을 달리해도 물리학적 현상을 그대로 설명할 수 있는 대칭성이 내재한다.

에미 뇌터는 전역 대칭이 하나 주어지면 그에 해당하는 보존되는 물리량이 하나가 있다고 얘기한다. 공간 이동에 대해서 대칭이라면 운동량이 보존되고, 시간 이동에 대해서 대칭이라면 에너지가 보존되고, 회전에 대해서 대칭이라면 각운동량이 보존된다. 위상 공간에서의 회전 대칭에 대해서는 전하가 보존된다.

현대 물리학 역사상 가장 강력한 도구 중 하나는 게이지 대칭성이다. 게이지 대칭은, 공간의 한 지점 마다 회전의 방향을 달리해도 물리 법칙의 형태가 변하지 않는다는 것을 얘기한다. 전역 대칭은 쉽게 직관적으로 이해가 된다. 우리가 북쪽을 바라보던 남쪽을 바라보던 물리현상은 동일하게 설명된다. 그러나, 한 지점 지점마다 회전 방향을 달리해도 물리 현상이 동일하게 설명되는 것은 직관적이지 않다.

디락 방정식 혹은 클라인 고든 방정식을 게이지 대칭에 대해서 불변이 되게 만들기 위해서는 우리 눈에 보이지 않는 게이지 장, gauge field가 존재해야 한다. 즉, 입자의 장, matter field를 기술하는 방정식이, 각 지점마다의 복소 공간에서의 위상 회전에 대해서 불변이 되기 위해서는 혹은 local gauge symmetry에 대해서 불변이기 위해서는 위상의 미분치를 보상해 줄 수 있는 gauge field가 필요하다. 그 게이지 장은 무엇인가?

photon field 이다. 전자기학을 전혀 몰라도, 입자의 운동 방정식을 게이지 불변이 되게 하기 위해서는 반드시 빛, photon 이 등장한다. 빛의 질량이 0인 이유는 무엇인가, 그렇지 않으면 빛이 우주 상수가 될 수 없기 때문이며, 또한 게이지 대칭성을 보존할 수 없기 때문이다. 게이지 대칭성을 보존하기 위해서는 게이지 보존의 질량은 0이 되어야 한다.

대칭에는 우리 눈에 보이는 공간, 시간 이동, 회전 변환등도 존재하지만, 수학적 공간에서의 추상적인 대칭성도 존재한다. 우주의 가장 근본적인 수준에서 입자들의 내부에는 그러한 추상적인 공간이 존재하는 것처럼 보인다. 왜 그렇게 설계되었을까.. 왜 이렇게 수학적으로 우주가 설계되었는지 대해서는 이미 여러번 개인적인 감상을 표출했다.

입자의 내부에는 U(1), SU(2), SU(3), ... , SU(N)과 같은 추상적 복소 공간의 회전 대칭성이 존재한다. 이러한 회전 대칭이 각 지점마다 다르면 이것을 게이지 대칭성이라고 부르며, 게이지 대칭성을 이루기 위해서는 게이지 장, gauge field가 등장하고, 그러한 게이지 장의 여기 상태인 gauge boson 입자가 등장한다.

빛 알갱이는 U(1) 게이지 대칭성을 보장하기 위한 전자기장의 여기 상태를 표현하며, SU(2)에 의해서 여러 골드스톤 보존 입자들과 그들의 자발적 대칭 파괴의 결과들인 Z0, W+, W- 보존들이 등장한다. 그들은 원래 빛과 같은 형제들이었지만, 힉스장과 결탁하는 댓가로 질량을 획득하고 영원한 구속에서 탈피한다. SU(3) 대칭성을 보장하기 위하여 빛의 여덟 형제들인 글루온 입자들이 등장하는데, 희안하게도 그들은 color charge를 가지고 그들끼리만 똘똘 뭉치기에 입자를 구성하는 것 외에는 세상에 모습을 드러내지 않는다.