볼츠만 분포

 

통계역학은 다수가 무리지어 다닐 때 나타나는 현상을 연구하는 학문이다. 아보가드로의 수로 알려져 있는 기체 분자 1몰에 들어 있는 입자의 수가 6x10^22개 정도이다. 이들을 뉴턴이나 아인슈타인 역학으로 분석하는 것은 의미가 없다. 실제로 단 3개의 입자들간의 상호 작용도 3체 문제라고 하여 해석적으로 풀리지 않는다.

 

우리는 현재 방안의 기체들이 정확히 어떠한 모양을 하고 있는지 알 수가 없다. 엔트로피를 예전에는 현재 방안의 무질서도라고 이해하였다. 그러나 현대 물리는 엔트로피를 무질서도의 관점에서 바라보지 않고 시스템의 현 상태에 대한 우리의 무지, 정보의 부재를 의미하는 용어로 이해한다.

 

이제 정확한 분자의 운동방정식이 아니라, 개별 입자들의 전체적인 운동의 경향, 확률이 게임을 주도한다. 그러한 확률적 게임에서 시행회수가 아주 많아지는 경우, 확률의 정체는 감춰지고 결정론적인것처럼 보이는 물리 현상이 나타난다. 수학적으로는 weak(strong) law of large number (WLLN) 이라고 부른다. 개별 입자 하나하나의 운동량을 모르더라도 그 수가 많아지면 평균적인 운동량은 정규분포를 띠게 된다. 이것을 중심 극한 정리(central limit theorem)이라고 부른다.  

 

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어떤 바보들만 사는 나라에 일반인이 갔다고 생각해 보자. 그는 1+1=2이라고 얘기하지만, 바보들은 1+1=0이라고 생각했다. 그래서, 그가 옳은 얘기를 할 때마다, 주변 바보들은 말도 안되는 소리라고 우긴다. 만약 그가 신념을 접는다면, 그냥 그 나라에 적응해서 살면 되지만, 그렇지 않은 인간이라면 그의 정신은 병들어가기 시작한다. 천재들이 바라본 평범한 세상이 이럴 수 있다. 

 

볼츠만은 불행한 물리학자였다. 너무 일찍이 원자의 존재에 눈이 뜬 나머지, 기체 분자의 운동을 분자적 관점에서 설명하고, entropy를 기체 분자들이 취할 수 있는 상태의 수라는 관점에서 해석하여 주류 물리학계와 충돌한다. 그 당시만 해도 원자의 존재는 형이상학에 가까웠고, 실제로 측정가능한 존재는 아니었기 때문에, 원자를 상상하는 것이 물리학적 원칙에 위배되는 것이라 생각했기 때문이다.

 

마흐주의자들은 우리가 직관적으로 경험할 수 없는 것들에 대한 사고를 혐오하였고, 볼츠만은 그들의 좋은 먹이감이 되었다. 그의 정신은 서서히 병들어갔고, 끝내 자신을 극복하지 못하고 목을 매고 자살한다. 

 

엔트로피의 증가는 사실, 믿음처럼 과학자들이 신봉하였다. 사실, 물리학적인 법칙으로 엔트로피의 증가를 설명할 어떤 이론적인 근거도 없었는데 (열역학 기본 가정으로 증명은 물론 가능하였지만)... 그리고 물리학적으로는 산산조각난 컵이 제자리에 붙는 것이 전혀 이론적으로 불가능하지 않음에도 불가하고 그러한 일이 절대 발생하지 않으리라는 믿음은 퍼져갔다. 왜.. 왜, 왜.. 

 

볼츠만은 상상했다. 만약에 ... 만약에 ... 우리  눈에는 보이지 않지만, 세상이 아주 작은 알갱이들로 이루어져 있다면,, 만약에 그렇다면 세상은 어떤 모습일까? 그리고, 그는 이론을 전개하고, 엔트로피의 증가는 전혀 이상한 것이 아닌, 자연의 공평 정대함.. 있을 수 있는 일은 반드시 발생한다는 것..이라는 것을 얘기한다.

 

인터스텔라에서 쿠퍼가 얘기한다. 

"Murphy's law doesn't mean that something bad will happen. It means that whatever can happen, will happen"

이러한 대사를 각본가가 생각했겠는가 ^^.. 그것은 물리학자 킵손의 대가적인 직관, 자연의 기본적인 법칙에 관한 통찰로 부터 나온 것일 것이다.

 

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방안에 기체 분자의 총 숫자가 N개 존재한다고 가정하자. 그리고, 기체 분자가 취할 수 있는 에너지 상태가 n개 있고, 각 에너지 상태에는 Ni개의 기체 분자가 존재하며 기체 분자의 총 에너지는 E로 고정되어 있다고 가정하자. 이것을 수식으로 표현하면

 

거시적으로 보면 총 에너지 E 혹은 기체 분자당 평균 에너지 혹은 온도 T가 변하지 않지만, 내부적으로는 끊임없이 분자들 간의 에너지 교환이 발생할 것이다. 어떤 기체 분자는 에너지가 클 수도 있고, 어떤 것들은 에너지가 작을 수도 있다. 그러나 위에서 기술한 2 조건은 만족해야 한다. 그러면 내부적으로 기체 분자의 에너지의 분포는 어떻게 구성될 것인가?

 

이 문제를 정확히 풀기는 불가능하다. 그러나, 우리가 몇몇 가정을 하면 이 문제는 어렵지 않게 풀 수 있다. 그 기본 가정은, 자연은 공평무사하다는 것이다. 존재들은 취할 수 있는 모든 모습을 취하려고 할 것이다. 현재의 에너지 상태에서 가질 수 있는 상태는 확률적으로 보면 모두 한번씩 나타날 것이다. 다른 말로는 위의 조합을 갗출 수 있는 모든 상태들은 골고루 동일한 확률로 발생할 것이다. 이것을 asymptotic equi-partition property라고 부른다. 그리고, 만약 N이 충분히 크다면, 상태의 수가 가장 많은 상태에 머무를 가능성이 많다. 그러면, 문제는 각각의 에너지 조합에 대한 상태의 수를 구하는 문제로 귀착된다.

 

N개의 입자들을 Ni개씩 나눌 수 있는 가지수는 몇가지인가, 단 전체 에너지의 합은 동일해야 한다.

 

위에서 N! 을 NlogN-N으로 근사화하는 것은 N이 아주 큰 경우에 적용되며 이를 stirling approximation이라고 부른다.

 

하나의 거시 상태를 표시하는 미시 상태의 수를 보통 entropy라고 부른다. 볼츠만의 비명에 klnW 이 적혀있다. 이러한 entropy가 최대화되는 현상이 우리 눈에 가장 많이 관측될 것이고, entropy 가 maximize되는 각 상태들이 존재할 확률이 모두 동일할 것이라는 것이 통계역학의 기본 가정이다. 전자공학과에서 정보이론을 배우면 이에 대해서 확실히 이해할 수 있다.

 

이제 방안 기체 분자들의 평균 에너지가 E라고 가정하자. 열 평형 상태에서 수많은 기체 분자들은, 다른 분자들을 만나고 그들은 서로 자신이 가진 에너지를 교환할 것이다. 어떤 넘은 조금 주고 많이 받고, 어떤 넘은 많이 주고 조금 받을 것이다. 평형 상태에 이르렀을 때, 기체 분자들의 에너지 분포는 어떻게 존재할 것인가? 이것이 볼츠만이 고민한 문제이다. 이제 풀어야 할 문제는 기체 분자의 평균 에너지가 일정하다는 가정에서 앞서 기술한 entropy를 최대화하는 방법에 관한 문제이다. 수학적으로는 아래와 같으며, 이것을 constrained optimization problem이라고 부른다.

 

얼핏 복잡해 보이는 이 문제는, 사실 최적화 이론 (optimization theory)를 조금만 공부해 보면 아주 쉽게 풀린다는 것을 알 수 있다. 그 방법이 바로 Lagrange multiplier 라는 방법이다. 이론적 배경은 조금 복잡하다. 그러나, 문제 풀이 방법은 간단하다. 인터넷에서 찾아보면 1시간 이내에 이해할 수 있는 방법이다. 이제 이 문제를 풀어보면

 

이제 위에서 beta는 무엇인가.. 이것의 이해를 위해서는 열역학적인 엔트로피의 정의를 이해해야 하는데, dE=TdS 가 온도의 정의임을 이용한다. 즉,

 

이전에 올린 흑체 복사이론 관련 글을 보면 알겠지만, 플랑크는 볼츠만의 분포함수를 빛 알갱이에 적용하여, 흑체의 주파수 스펙트럼을 완벽하게 기술한다. 거인의 어깨위가 아니라면, 어떤 인간도 위대한 업적을 이루어내기는 어렵다. 플랑크는 볼츠만의 어깨위에서, 아인슈타인은 플랑크의 어깨 위에서...