자화와 상전이 현상

인류는 오래전부터 자석의 존재를 알고 있었다. 자석을 이용한 나침반은 9~11세기 사이에 중국에서 발명되어 아랍을 거쳐서 유럽에 전파된 것으로 보인다. 나침반의 발명으로 인류는 대륙을 건너갈 수 있게 되었고 이에 따라 유럽의 권력지도는 격변하게 된다. 어렸을 때 한번쯤 자석을 깨 본적이 있을 것이다. N극 혹은 S극만을 가지고 싶어서 말이다. 그러나, 그러한 시도가 매번 실패하였고 아무리 자석을 쪼개도 다시 그들은 새로운 자석이 되었다. 왜 자석은 단극만을 가질 수 없을까,, 누구나 어렸을 때 한번쯤은 의문을 가져봤을 것이다.

 

답은 뻔하다. 자석의 내부는 다시 새로운 자석이기 때문이다. 아래 그림에서 보듯이 N극에 N극을 이루는 물질이, S극에는 S극을 이루는 물질이 존재할 것이라는 순진한 생각은 틀렸고, 아주 조그만 자석들의 합으로, 그들의 의사의 다수결에 의해서 N과 S극이 결정된다. 그 사회가 일치 단결을 이루지 못하면 좌측에 보이는 것처럼, 그것은 자석으로서의 성질을 잃어버린다.

 

조그만 자석들은 자유를 찾아서 random하게 배열되려는 entropy force와, 한 방향으로 나란히 배열되었을 때, 에너지가 가장 낮아지는 energy force들이 서로 상충하는 가운데, 자력일 결정된다. 모두가 일치단결하면 자력은 커지고, 그렇지 않으면 약해진다. 모두가 취해서 힘이 없을 때, 한사람이 좌측으로 쓰러지면 모두가 좌측으로 쓰러지고, 온도가 높아서 힘이 넘칠때에는 한 넘이 좌측으로 넘어져도 그 효과는 얼마가지 못한다. 자석의 온도를 높이면, 임계온도를 넘어가면 entropy 가 세상을 지배하게 되어 자성은 사라진다.

 

어디서 많이 들어본 얘기같지 않은가? 바로 힉스 메커니즘이다. 존재들이 질량을 얻는 원리, 존재들의 힘이 없을 때, ground state에서 한넘이 좌측으로 자빠지면 모두가 좌측으로 자빠진다. 이것을 자발적 대칭 파과, spontaneous symmetry breaking, SSB라고 부른다. 액체가 기체로 변하는 것, 임계온도 이하에서 N이나 S극으로 한마음으로 배열 되는 것, 이러한 자연의 신비는 바로 대칭이 파괴되기 때문에 나타나는 현상들이다. 따라서, 이들 이론에서 우리는 멕시코 모자, smbrero를 다시 보게된다.

 

 

아래는 이에 관해서 정량적으로 어떤 일들이 발생하고 있는지를 쫓아간다. 당연히 복잡하니, 여기까지만 읽어도 충분할 것이다.

 

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Ising problem은 문제 자체는 간단하다. 아래 값을 구하면 되는 것이다. 즉, N개의 입자들의 스핀 상태에 따라 에너지 분포 E가 주어질 때, 그에 해당하는 partition function Z를 구하면 되는 것이다. 각각의 si가 가질수 있는 값이 -1과 1, 두값이고 이것이 N개가 있다면 가능한 조합은 2^N개가 될 것이다. N이 간단히 1000개만 되어도 2^1000=10^100이 되어 이 문제를 풀 가능성이 없는데, N은 알다시피 아보가드로의 수 10^23 order이다. 당연히, 그냥 계산으로는 풀리지 않는 문제이다.

 

특수한 경우를 가정하고 위의 방정식을 풀 수 있다. 평균장이론 (mean field theory)에서는 이웃한 스핀간의 covariance가 0이라고 가정하는 것이다. 즉, 아래 두번째 식에서 첫번째 항이 0이라고 가정하는 것이다.

 

그 경우 Energy E, partition function Z, 그리고 자화 정도를 나타내는 magnetization m은 아래와 같이 어렵지 않게 구할 수 있다.  

 

1. 만약 B=0인 경우, 즉 외부에서 자기장을 걸어주지 않은 경우를 생각하자. 이 경우 m=tanh(Am)이라는 비선형 방정식의 해를 구하는 문제이다. 이 경우, 아래 그림에 있듯이 원점에서의 기울기 A가 1보다 작은 경우에는 유일한 해, 0을 가지며 그렇지 않은 경우 즉 A>1인 경우에는 오른쪽 그림과 같이 3개의 점에서 해가 존재한다.

 

이 중, 원점의 해는 불안정한 상태이고, 좌측 혹은 우측, 즉 하나의 자화 방향을 결정하게 된다. 이 말의 의미는 자석이 일정 온도보다 높으면 (A<1) 어느 방향으로도 자화되지 않아서, 혹은 엔트로피의 힘이 너무 강해서, 자석의 성질을 잃어버리고 특정 임계온도 이하에서는 NS 혹은 SN중 어느 한 방향으로 쓰러진다는 것이다. 이것을 보고, SSB, spontaneous symmetry breaking을 떠올려야 물리적 직관력이 있다고 얘기할 수 있다.

 

2. 만약 외부에서 자기장을 걸어주면 즉, B가 0이 아니면, m=tanh(C+Am) 꼴이 되어, 더 이상 3개의 점에서 만나지 않는다. 이 경우, B의 부호에 따라 아래 그래프처럼 단 한 개의 안정점을 가지고 더 이상 상변이가 발생하지 않는다.

 

Ising model에 mean field theory를 적용하여 구한 위의 모델의 해석을 액체/기체 상전이 과정과 비교할 수 있다. 이전 포스팅에서 상전이 과정에서 중요한 것은 아래와 같은 critical exponent들, beta, delta, gamma라고 하였다. 반데르 발스 모델로 구한 값과 실제로 측정한 값을 아래에 적었다. 이 값들이 입자들의 종류에 무관함을 강조하였다. 즉, 기체의 종류에 상관없이 모두 universal 한 특성을 보인다. 아주 많은 수가 모이면, 개별 하나하나의 특성은 전혀 중요하지 않다. 아주 많은 이들이 모이면, 소수의 의견과 개성은 무시된다.

 

액체/기체 상전이에서 입자의 밀도에 해당하는 값은 Ising model에서는 자성(magnetization) m이다. 액체/기체 2개의 상에서 1개로 결정되듯이 자성은 NS극이 되거나 SN극이 된다. 이제 B=0이고 T가 Tc에 가까운, 즉 critical temperature 부근에서의 magnetization 수식을 분석해 보자. 즉 그림 45의 왼쪽 경우를 살펴보면 된다. T가 Tc에 가까우면 m은 거의 0에 가까우므로 tanh(x)=x-x^3/3이라는 Taylog 전개를 적용할 수 있다. 아래 마지막 결과식에서 보듯이 반데르 발스로 분석한 액체/기체 상전이 결과식과 동일하다.

 

두번째로 기체/액체에 압력을 가했을 때 부피가 얼마나 변하는지의 관계는 외부에서 자기장 B를 걸었을 때 magnetization이 얼마나 변하는지와의 관계와 동일하게 생각할 수 있다. 임계온도 Tc에서 B에 따라서 m값이 어떻게 변하는지 살펴보면 아래식의 마지막 결과에서 보듯이 기체의 상변이 과정의 결과와 동일한 결과를 얻는다.

 

이제 마지막으로 온도에 따른 compressibility의 변화는 온도에 따른 susceptibility의 변화로 비교할 수 있다. 아래에서 보듯이 이 또한 액체/기체 상전이 과정과 동일하다.

 

 

어떻게 전혀 달라 보이는 두 현상, 액체와 기체의 상전이 과정과 고체내의 스핀에 따른 자성의 변화가 동일한 수식으로 표현되는가? 그리고 이 모든 과정들에서 모든 입자적 detail들은 사라지고 어떤 기체이든 동일한 현상으로 나타나는가? 이것이 자연의 신비이고 창조주가 그렇게 많은 깨알 같은 존재들로 세상을 만든 이유일 지 모른다. 개별 입자들이 다수를 이룰 때, 개별입자 하나하나의 특성과 상관이 없는 숫자들이 저절로 힘을 발휘하는 새로운 물리 현상이 나타난다.

 

이제 조만간, Statistical field theory (SFT)를 소개하고, Renormalization group (RG) theory를 얘기해야할 때이다. 그것은 아주 긴 이야기이기에 이번에는 얘기하지 못하고 아마, 다음 기회에 얘기하게 될 것 같다. 그 전에, Ising problem을 1차원/2차원의 경우에 대해서 정확히 풀어보고, Landau, Ginsb erg-Landau theroy를 먼저 살펴봐야 할 것이다.