불확정성 원리

 

불확정성의 원리를 하이젠베르그가 처음에는, 측정의 원리로 설명하였다. 예를 들어, 우리가 전자의 위치를 측정한다는 것은, 에너지를 가해서 반사된 에너지의 일부를 검출하는 것이다. 물체에 에너지를 가하는 순간, 물체는 운동을 하게 되고 따라서 운동량의 변화를 가져온다. 따라서, 근본적으로 우리는 어떤 물체의 운동과 위치를 모두 정확하게 검출할 수는 없다고 말이다. 

 

많은 물리 법칙에 있어서, 최초의 발견자가 자신의 발견의 의미를 정확히 이해하는 경우는 드물다. 예를 들어, 플랑크는 빛이 알갱이로 되어 있다는 사실에 기반해서 흑체 복사를 설명하였지만, 처음에 그 사실을 드러내지 않으려고 노력하였다. 아인슈타인은 플랑크의 논문을 읽고서 정확히 본질을 파악하고 광양자설의 형태로 부활하여 그의 유일한 노벨상을 그렇게 다른 업적에 비해서 허접한 이론으로 수상한다. 

 

슈뢰딩거는 드브로이의 발견을 확장하여 양자역학을 학문의 반열로 올린 방정식을 발견하였지만, 자신이 얘기한 파동의 의미는 끝내 이해하지 못하였다. 디락 방정식의 의미에 대해서 디락은, 자신이 생각하는 것보다 자신의 방정식의 의미는 더욱 심오하였다고 고백하였다. 우주는 곳곳에 자신의 흔적을 새겨두었고, 아주 우연적으로 세상에 잠깐 나타난 물보라같은 존재 인간들은, 그 흔적들을 하나씩 발견한다. 발견자는 최초의 모습을 본 이들이고, 그 심오한 의미를 해석하는 이들과 그들이 일치하지는 않는다.

 

 

양자역학은 고전역학의 운동방정식을 quantization 과정을 거쳐서 연산자(operator)로 변환해서 얻어진다. 고전역학에서 입자나 시스템의 움직임이 (p,q) 상의 state space 상에서 기술되듯이, 양자역학에서는 양자의 state space에서 기술된다. 고전역학은 Poisson bracket에 의한 Poisson algebra로 기술되고, 양자역학은 Lie bracket에 의한 Lie algebra로 기술된다.

 

 

불확정성의 원리를 설명하는, 혹은 유도하는 두가지 접근법이 있다. 하나는 Fourier transform을 이용하는 것이다. 푸리에 변환은 하나의 존재 혹은 벡터를 바라보는 두가지 관점을 얘기한다. 하나는 위치 영역에서, 하나는 운동량 영역에서 기술을 한다. 위치 영역에서 존재가 좁은 영역 (-dx/2, dx/2)에 존재한다고 가정하면, 푸리에 변환을 하면 운동량 영역에서는 전 범위에 존재가 퍼지게 된다. 반대로 운동량 영역에서 존재를 한정하면 위치 영역에서는 퍼지게 된다. 즉, 입자의 파동성이야 말로, 불확정성의 원리 이해의 핵심이다.

 

 

두번째 유도는 좀 전에 설명한, 연산자 규칙을 얘기하는 것이다. 양자역학에서 우리가 관측하는 물리량(observable)은 간단히 얘기하면 Hermitian 대칭 행렬이다. 행렬도 대수적으로는 하나의 숫자이다. 그러나, 행렬이 일반적인 수와 다른 것은,  숫자들은 2x3이나 3x2나 그 결과가 동일하지만, 행렬은 AB와 BA는 일반적으로 값이 같지 않다는 것이다. 그러한, 연산자간의 교환 불가성이 존재하기 때문에, 교환 불가능한 두 연산자에 해당하는 물리량 (conjugate 관계에 있다고 한다)들은 동시에 정밀하게 측정을 할 수가 없다. 선형대수학을 배웠다면, 그 2개의 행렬은 동시에 대각화가 되지 않는다고 이해하시면 된다. 

 

통계역학에서 말하는 엔트로피 S=k log W에서 k의 의미는 아주 작다는 것이다. 10^-23.. 다른 말로는 세상은 깨알 같은 것들로, 예전 사람들의 용어로는 기와 같은 것으로 이루어져 있다는 것이다. 그리고 W는 우리 눈에 보이는 거시적인 현상들은, 결국은 나타날 수 있는 모든 것들은 나타나며, 그들은 모두 동일 기회를 가지기에 결국 자주 나타나는 것들이 우리 눈에 현상처럼 보인다는 것이며, 자주 나타나는 것이란, 결국은 완전한 무질서도를 향해서 가게 되어 있다는 것이다. 

 

고전 역학적으로 W, 즉 상태의 수를 정확히 세는 것은 불가능하다. 상태란 (p,q) 즉, (운동량, 위치)의 모든 조합을 의미하는 것인데, 고전역학적으로는 운동량과 위치는 무한히 정밀히 표현되기 때문이다. 그러나, 양자역학에 이르러, 우리는 정확히 상태의 수를 기술할 가능성이 존재한다. (p,q)공간에서 h/2이상의 면적으로는 상태를 나눌 수 없기 때문이다.