자신을 인식하는 물질, 존재와 의식... 자연철학적 접근
미분기하 본문
1. 다양체, Manifold
우리가 사는 세상의 공간은 실제로 질량에 의해서 휘어져 있다. 인간들은 이러한 비선형적인 공간을 직접적으로 다루기에는 아직 지능이 많이 부족하기에 그 공간을 조각조각 내어서 그것을 평면에 펼쳐서 연구하는 방식을 취한다. 부드럽게 휘어진 공간, 그래서 그 공간의 어떤 점을 잡더라도 그 점 주변을 n차원의 평면공간, n차원 유클리드 공간 Rn으로 근사화할 수 있다면 그 공간을 다양체 (manifold)라고 부르고 그 공간의 차원을 n이라고 한다. 우리가 사는 지구의 표면도 바로 2차원 다양체이다. 이제 m 차원 미분 다양체의 수학적 정의를 적어보자.
우리가 사는 세상의 공간은 실제로 질량에 의해서 휘어져 있다. 인간들은 이러한 비선형적인 공간을 직접적으로 다루기에는 아직 지능이 많이 부족하기에 그 공간을 조각조각 내어서 그것을 평면에 펼쳐서 연구하는 방식을 취한다. 부드럽게 휘어진 공간, 그래서 그 공간의 어떤 점을 잡더라도 그 점 주변을 n차원의 평면공간, n차원 유클리드 공간 Rn으로 근사화할 수 있다면 그 공간을 다양체 (manifold)라고 부르고 그 공간의 차원을 n이라고 한다. 우리가 사는 지구의 표면도 바로 2차원 다양체이다. 이제 m 차원 미분 다양체의 수학적 정의를 적어보자.
정의는 복잡해 보이지만, 우리가 구면인 지구를 평면인 지도로 바라보는 것을 상상하면 그렇게 어렵지 않은 정의이다. 우리가 직접 manifold 상에서 미적분과 같은 수학적 연산을 하는 것이 정확하겠지만, 이미 얘기한데로 인간의 지능은 선형공간 내에서만 논리적 정합성을 유지할 수 있기에 어쩔수 없이, chart로 옮겨서 연산을 한 후 다시 manifold로 옮기는 방식을 취한다. 아래 그림(typo있음)에서 두 개의 manifold상의 변환관계 f:M→N을, g:Rm→Rn 인 함수 g=ψ o f o φ^(-1) 로 대체할 수 있다.
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2. 미분 다양체, differential manifold
위에서 만약 g(x) 혹은 g(x(p))가 미분가능하면, f가 manifold p 점에서 differentible 혹은 smooth map이라고 한다. 만약 f가 homeomorphism이고, g(x)가 invertible map이면, M is diffeomorphic to N (혹은 N is diff.. to M), M≡N 이라고 하며 f를 diffeomorphism 이라고 한다. 즉, 우리가 manifold 상에서 직접 미분을 정의하기 어려우니, 이것을 지도상으로 옮긴 후, 그 둘 사이에 미분이 양방향으로 가능한지를 따져보는 것이다. 역변환이 존재해야 하므로 당연히 f는 bijective해야 하고, 따라서 M≡N 이려면, dim M= dim N이다.
두 위상공간을 continuously 변환할 수 있다면 그 두 공간은 homeomorphic하며, 두 공간을 smooth (differentiable)하게 변환할 수 있다면 그 두 공간은 diffeomorphic하다. 미분가능이 연속보다는 강한 조건이기에 당연히 diffeomorphic 이면 homeomorphic이지만, 그 반대는 아니다. 하지만, 그 예를 찾기는 생각보다 어렵다. 미분 다양체 M상에서 미분 가능한 모든 함수들을 모은 것을 Diff(M)으로 표시한다.
그러면 다양체 M상의 한점 p상의 chart를 어떻게 만들 것인가? 다르게 얘기하면 2차원 곡면의 다양체 지구 상에 있는 나의 주변을 어떻게 R2 공간으로 표현할 것이가 하면, 당연히 내 점을 포함하는 tangent plane일 것이다. 그러나 manifold는 휘어져 있으므로, tangent vector를 수학적으로 어떻게 정의해야 하는지부터 시작해야 한다.
다양체 상의 곡선 c: (a,b) → M 혹은 c(t)는 t가 a~b로 변함에 따라 다양체상에 연결된 선을 말한다. 그 모양은 무한가지 가능성이 있을 것이다. 그리고 다양체 상에 정의된 미분 가능한 함수 f:M → R 가 주어진 경우, 곡선 c(t)를 따라 그 변화량을 구하면 아래 과정과 같다. c(0)=p라고 할 때, 아래에서 정의한 X를 tangent vector at p (along the direction given by the curve c(t)), p 점에서 접선 벡터라고 부른다.
위에서 curve c(t)에 따라 p점에서의 tangent vector가 모두 다른 것은 아니다. 만약 c1(t)와 c2(t), c1(0)=c2(0) 에 대해서 tangent vector X가 동일하면 c1(t)~c2(t) 는 equivalent relation이며, 모든 그러한 curve들은 [c(t)]라는 dquivalence class를 이룬다. p점에서 모든 가능한 tangent vector들을 모으면, TpM이라는 p점에서의 tangent space를 구성한다. TpM의 축이 되는 벡터, basis는 e_m=∂/∂x_m 이다. 미분 기하학을 처음 공부할 때, 도대체 편미분 연산자를 basis로 잡는 것이 어떤 의미인지 한창 혼동이 많았지만 지금은 너무나 자연스럽다. 항상 그렇듯이, 인간들은 새로운 내용을 이해하는 것이 아니라, 시간이 지나면 그 내용에 대한 반감이 사라지는 것이다. 한낱 인간이 무엇을 이해하겠는가 ^^.
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3. One-forms
이전에서 Tensor에서 다루었듯이 우리가 벡터라고 얘기하는 것은 contravariant (0,1) tensor를 말한다. 따라서 만약 좌표계가 x에서 y로 변환되면 그 좌표는 아래와 같은 contravariant 변환 룰에 따라 변환된다.
쌍대 공간, dual space에 대한 개념은 수학의 전 분야에 걸쳐서 자주 등장한다. 행렬로 따지면, 행렬 A의 column vector들로 이루어지는 공간(column space)의 dual space는 row space이며, row space의 vector는 column vector를 입력받아 scalar를 출력하는 함수처럼 생각할 수 있기에, 함수로 이루어진 공간이라고도 생각할 수 있다. 즉, vector로 이루어진 공간의 dual 공간인 함수로 구성된 공간이 있고, 그 둘은 1대1, isomorphism의 관계에 있다는 것이다.
마찬가지로, 다양체 상의 한 점 p의 tangent vector들로 구성된 tangent space TpM의 dual space인, co-vector들로 이루어진 cotangent space Tp*M를 생각할 수 있다. 이것은 벡터를 입력받아 스칼라값을 출력하는 함수인 ω:TpM → R인 함수들로 이루어진 공간으로도 생각할 수 있으며, 이러한 co-vector들을 one-form이라고 부른다. 물론, vector도 covector를 입력받아 스칼라값을 출력하는 함수로 볼 수 있다. 수학에서 모든 텐서는 multi-linear map으로 정의된다.
만약 one-form df∈Tp*M 이고, vector V∈Tp*M 이라면, <df,V>=V(f)=V^μ (∂f/∂x^μ) ∈ R 로, 위에서 설명한 데로 co-vector에 해당하는 one-form을 (벡터를 입력받아 실수값을 출력하는)함수처럼 생각할 수 있다. One-form의 basis는 dx^μ 이며, 따라서 ω=df= ω_μ dx^μ 로 표시되며, < dx^ν, ∂/∂x^μ >= δ^ν_ μ 로 TpM과 Tp*M의 기저 벡터들은 dual basis관계를 이룬다 (co-orthogonal).
이제, 다양체 상의 한 점 p에서 vector와 covector 혹은one-form의 내적은 당연히 스칼라 값을 출력하는데 이것을 두 벡터의 내적(inner product)로 정의한다. 즉 <ω,V>=< ω_μ dx^μ, V^ν ∂f/∂x^ ν > = ω_μ V^ν<dx^ν, ∂/∂x^μ>= ω_μ V^μ ∈ R, 즉 <.,.>:Tp*M x TpM → R이 바로 우리가 알고 있는 내적에 해당한다. One-form을 (0,n) tensor로 확장하면 n-form이라고 부른다. n개의 벡터를 입력받아 스칼라 값을 출력하는 함수이다. Chex
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4. Push forward, Pullback
다양체 M상에 smooth(differentiable) vector(tensor)를 모든 점마다 정의하면 이것을 vector(tensor) field라고 부른다. Smooth 함수들의 집합을 F(M)이라고 할 때, V[f] ∈F(M) for any f ∈ F(M) 일때, V를 fector field라고 부른다. 예를 들면, 지구 상에서 매지점 나침반을 두고, 그 방향을 매 점마다 표시하면 vector field에 해당한다. 매 지점마다 tensor를 하나씩 두고 그 field가 부드럽게 변하면 이것은 tensor field가 된다.
두 다양체 M,N간에 Smooth(differentiable) map f:M→N 이 주어지면 자연스럽게 tangent plane사이에서도 변환관계 f_*:TpM→Tf(p)M 가 존재하며 이를 induced map이라고 한다. 아래 그림에서 다양체 M에서 정의된 TpM에 존재하는 X라는 벡터를 induced map에 의해서 다양체 N상에 정의된 Tf(p)M에 존재하는 Y=f_*X로 옮길 때, Y가 X의 pushforward라고 부른다. 만약 f: M→N, g: N→K 라면, (g o f)_*=g_* o f_* 로 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 사실, 미분 기하학을 전혀 공부하지 않은 상태에서 이 부분을 읽으면 암호처럼 느껴질 수 있다.
마찬가지로, 다양체 상의 한 점 p의 tangent vector들로 구성된 tangent space TpM의 dual space인, co-vector들로 이루어진 cotangent space Tp*M를 생각할 수 있다. 이것은 벡터를 입력받아 스칼라값을 출력하는 함수인 ω:TpM → R인 함수들로 이루어진 공간으로도 생각할 수 있으며, 이러한 co-vector들을 one-form이라고 부른다. 물론, vector도 covector를 입력받아 스칼라값을 출력하는 함수로 볼 수 있다. 수학에서 모든 텐서는 multi-linear map으로 정의된다.
만약 one-form df∈Tp*M 이고, vector V∈Tp*M 이라면, <df,V>=V(f)=V^μ (∂f/∂x^μ) ∈ R 로, 위에서 설명한 데로 co-vector에 해당하는 one-form을 (벡터를 입력받아 실수값을 출력하는)함수처럼 생각할 수 있다. One-form의 basis는 dx^μ 이며, 따라서 ω=df= ω_μ dx^μ 로 표시되며, < dx^ν, ∂/∂x^μ >= δ^ν_ μ 로 TpM과 Tp*M의 기저 벡터들은 dual basis관계를 이룬다 (co-orthogonal).
이제, 다양체 상의 한 점 p에서 vector와 covector 혹은one-form의 내적은 당연히 스칼라 값을 출력하는데 이것을 두 벡터의 내적(inner product)로 정의한다. 즉 <ω,V>=< ω_μ dx^μ, V^ν ∂f/∂x^ ν > = ω_μ V^ν<dx^ν, ∂/∂x^μ>= ω_μ V^μ ∈ R, 즉 <.,.>:Tp*M x TpM → R이 바로 우리가 알고 있는 내적에 해당한다. One-form을 (0,n) tensor로 확장하면 n-form이라고 부른다. n개의 벡터를 입력받아 스칼라 값을 출력하는 함수이다. Chex
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4. Push forward, Pullback
다양체 M상에 smooth(differentiable) vector(tensor)를 모든 점마다 정의하면 이것을 vector(tensor) field라고 부른다. Smooth 함수들의 집합을 F(M)이라고 할 때, V[f] ∈F(M) for any f ∈ F(M) 일때, V를 fector field라고 부른다. 예를 들면, 지구 상에서 매지점 나침반을 두고, 그 방향을 매 점마다 표시하면 vector field에 해당한다. 매 지점마다 tensor를 하나씩 두고 그 field가 부드럽게 변하면 이것은 tensor field가 된다.
두 다양체 M,N간에 Smooth(differentiable) map f:M→N 이 주어지면 자연스럽게 tangent plane사이에서도 변환관계 f_*:TpM→Tf(p)M 가 존재하며 이를 induced map이라고 한다. 아래 그림에서 다양체 M에서 정의된 TpM에 존재하는 X라는 벡터를 induced map에 의해서 다양체 N상에 정의된 Tf(p)M에 존재하는 Y=f_*X로 옮길 때, Y가 X의 pushforward라고 부른다. 만약 f: M→N, g: N→K 라면, (g o f)_*=g_* o f_* 로 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 사실, 미분 기하학을 전혀 공부하지 않은 상태에서 이 부분을 읽으면 암호처럼 느껴질 수 있다.
이와 달리 만약 f^*: T*f(p) → T*pM 으로 다양체 N의 한 점 f(p)의 cotangent plane상에 정의된 1-form ω 를 다양체 M 상의 한점 p의 cotangent plane 상에 정의된 1 form ρ=f^*(ω)로 반대 방향으로 가져올 수도 있는데, 이 경우 ρ를 ω 의 pullback 이라고 부른다. 이제 pushforword와 pullback 사이에, (이제까지 자주 봐서 어느정도 익숙한) 다음과 같은 duality 가 존재한다.
f:M→N 에서 dim(M)<=dim(N)인 경우, pushforward map f_*: TpM→Tf(p)M 이 injective map이면 (1:1) rank f_* = dim M 이고 f를 immersion of M into N이라고 부른다. 만약 f와 f_* 모두 injective 이면 f를 embedding 이라고 부르고, f(M)을 submanifold of N이라고 부른다. 아래에서 f,g :S1→R^2 인데, (b)의 경우는 S1의 한점에 g(S1)위의 한점씩 1대 1로 mapping되기에 embedding이지만, (a)의 경우는 두원의 교차점에 해당하는 점이 2개의 점에 mapping되기에 immersion 이지, embedding은 아니다.
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