Parallel transport

특수 상대성이론이 얘기하는 것은, 우리는 민코프스키 공간이라는, 시간축이 허수인 4차원 유클리드 시공간에 우리가 살고 있다는 것이다. 그 공간에서 관측자의 속력에 따라 우리는 시공간을 다른 각도에서 바라보게 된다. 즉, 어떤 이에게 공간으로의 이동은 어떤 이에게는 시간방향으로의 이동에 해당하기도 한다. 시간과 공간이 그 본질적 구조에서 큰 차이가 없다는 사실.. 그 심오한 의미를 두고두고 되새김할 가치가 있다.

 

일반 상대성이론은, 우리가 시간과 공간이라고 부르는 그것이, 실재로 사물의 배경에 고정적으로 존재하는 배경이 아니라, 미세한 구조에서는 파편화, 분절화 될 수도 있고, 거대 공간에서는 우리가 알기 어려운 방향으로 구부러지고 휘어져 있다는 사실을 얘기한다. 공간의 휨을 우리는 에너지라고 불러야 할지, 에너지가 시공간을 휘게 하는 것인지 그 본질에 대해서 우리는 생각하기 어렵고, 기하학적인 상상은 3차원에 익숙한 미개한 인간들에게는 너무나 어려운 일이다.

 

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일반 상대성 이론에서 Parallel transport의 개념의 이해는 중요하다. 리만 기하학은 휘어진 공간의 기하학을 다루는데, 인간들은 곡선을 다루는 것에 익숙하지 않다. 곡선의 한 점의 주변을 보면 직선으로 보이기에 직선으로 근사화하고 싶어하고, 이것이 바로 미분의 원리이다.

 

위의 식은 고등학생 수준의 미분 수식인데, 이것은 x라는 한 점 주위를 직선으로 바라보고 이론을 전개하는 것이다.

 

그러나, 공간이 휘어있다면, A라는 지점의 벡터와 B라는 지점의 벡터를 비교하는 것은 신중해야 한다. 벡터의 성분의 변화 뿐 아니라, 축 (basis) 자체도 두 지점이 다르기 때문이다. 두 개를 비교하는 방법은 A와 B의 축을 동일하게 하거나, A지점의 하나의 벡터를 B라는 축에 맞게 이동하는 것일 것이다. 후자의 경우를 Parallel transport 했다고 한다. 간단히, A에서 북쪽을 가르키는 벡터를 parallel transport하면 B지점에서도 북쪽을 가르킨다.

 

뉴욕에 있는 벡터를 서울에 있는 벡터와 비교하려면 조심스럽게 뉴욕에 있는 벡터를 옮겨와야 한다. 원래의 벡터를 조심스럽게 제자리로 들고 오면 만약, 우리가 존재하는 공간, manifold가 원래 평면이었다면, 원래의 벡터로 되돌아온다. 그러나, 만약 우리가 존재하는 공간이 질량에 의해서 휘어져 있던 공간이라면 제자리로 돌아오지 않는다. 위키에 있는 아래 그림을 보면 이해가 쉬울 것이다. A지점에 있는 벡터를 조심조심 옮겨서, 구면상의 삼각형을 따라 제자리로 오면 alpha 만큼 각도가 틀어진다. 이 틀어진 정도를 측정하면 내가 사는 공간의 곡률을 알 수 있다.

 

 

Parallel transport 를 정의하려면 이전 포스팅에서 얘기한 connection을 얘기해야 한다. Connection은 두 지점의 벡터를 비교할 수 있게, 두 지점 간의 tangent plane 2개의 선형적인 변환 관계를 정의한 것이다. 이것을 위하여 Christoffel symbol 혹은 (affine) connection coefficient를 도입한 것이다. 미분기하학적인 수식으로는

 

로 주어진다. 위에서 gamma(t)는 manifold 상의 (위의 그림으로는 구면 상의) 이동경로에 해당하는 곡선의 방정식이다. 이때, 곡선의 경로가 t라는 하나의 인자로 표시되기에 이것을 one-parameter group이라고도 부른다. 이 경로의 각 지점마다 tanget vector gamma’(t)의 방향이 달라질 터인데, 이방향으로 vector의 변화가 없다는 것을 표시하는 수식이다.  

 

만약 하나의 기준 벡터가 closed loop을 거쳤을 때, 그 벡터가 원래 벡터와 얼마나 틀어져 있는지를 측정하면 그 공간의 휘어진 정도를 알 수 있으며 이것을 그 공간의 curvature라고 부른다. 이공돌이들이 문돌이보다 좋은 점은, 이러한 거시적인 담론이 아니라 미세적인 담론, 즉, 정량적으로 이 휘어진 정도를 얘기할 수 있다는 것이다. 그러나 이를 위해서는 Lie derivative 와 Rieman tensor 를 얘기해야 한다.