일반상대성이론-아인슈타인 장 방정식

일반상대성이론에 따르면 존재들은 주변 공간을 휘게 만든다. 3차원 공간에 익숙한 우리들에게 그 휘어진 방향은 어디에 대한 것이냐고 질문하면 대답이 어렵다. 4차원 시공간도 상상이 어려운데, 휘어진 4차원 시공간이라니.. 시간이 휘어져 있다는 것의 의미는 과연 무엇일까... 휘어진 것은 시간이냐, 아니면 네 마음이냐...  육조 혜능의 명언이 생각난다.

 

어쨌던 그렇게 휘어진 공간에서 존재들은 모두가 광속으로 휘어진 면을 따라서 이동한다. 휘어진 공간의 속력을 얘기하는 것은 극히 조심해야 한다. 자주 얘기하지만 이 말의 진정한 의미를 깨달은 사람이 많지는 않은 것 같다. 일반 상대성 이론의 본질과도 직접적으로 관련된 말이다. 우리가 속력을 얘기할 수 있는 구간,, 모든 존재들이 4차원 시공간에서 광속으로 흐른다는 것의 의미는 휘어진 구간을 민코프스키 평면으로 근사화할 수 있는 좁은 영역만에서 의미가 있다. 우주의 반대편이 광속보다 빠르게 멀어진다고 얘기하는 것은, 그 말 자체에 엄밀함이 결여되어 있다는 사실을 깨달아야 한다.

 

인류는 유클리드의 1~4공준은 쉽게 동의를 하였으나 제 5 공준, 평행성 공준에 대해서는 갸우뚱한다. 유클리드 본인도 갸우뚱하면서 자신의 증명들에서 제 5 공준의 사용은 극도로 자재했다. 2000년이 지나서 인류는 제 5 공준은 불필요할 뿐만 아니라 틀린 공준임을 발견하고, 제 5 공준이 성립하지 않는 기하학을 개발한다. 곡면의 기하학이다. 곡면 위에서 삼각형의 세 각의 합은 180도가 아니다. 제 5 공준이 성립하지 않기 때문이다.

 

우리들은 3차원에 그려진 도형에는 익숙하다. 그러나 4차원 이상, n 차원 공간에서 도형들이 어떤 모양이 될지 상상하는 것에 익숙하지 않다. 그러한 세상에서 인간들의 직관은 별 쓸 데가 없다. 그러한 세상은 수와 규칙으로 정의해야 하고 그러한  숫자들의 관계로 모양을 추정해야 한다. 대수 기하학, 위상 기하학이 등장하는 이유이다. 

 

아래 뫼비우스의 띠는 그러한 상황을 드러낸다. 뫼비우스의 띠는 finite 2차원 면인데, 안과 바깥이 존재하지 않는다. 2차원 면이 3차원 공간에서 한번 비틀어져 있다는 단순한 사실이 이 도형을 흥미롭게 만든다. 인간의 직관은 폐곡선을 따라 360도를 회전하면 제자리로 돌아온다고 얘기한다. 그러나 뫼비우스의 면을 따라 360도를 돌면 180 위상 반전이 되어 반대편에 도착하고 2바퀴를 돌아야 제자리로 돌라온다. 그러한 성질을 가진 것은 이러한 요상한 물체 말고 있을까? 전자의 스핀이 그러하다.

 

 

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부드럽게 휘어진 공간, 한 점 주변을 평면으로 바라볼 수 있는 공간 manifold가 있다. 이것을 M이라고 할 때, manifold 상의 한 점 p를 X방향으로 지나는 곡선 (integral curve)를 생각할 수 있다. 수식으로는

 

위에서 s는 곡선의 변화를 나타내는 하나의 파라미터이다. 시간 t라고 생각해도 되지만, 우리가 다루는 공간은 4차원 시공간이기에 s로 표시된 파라미터로 곡선을 나타낸다. S가 증가함에 따라, 휘어진 공간위에서 곡선의 경로가 결정된다. 지구는 둥글다. 지구 표면은 3차원 공간의 2차원 부 벡터 공간 (subspace)이다. 휘어진 지구에 경도와 위도를 그으면, 이것이 휘어진 공간을 나타내는 좌표이다. 이 좌표로 움직임을 표현하기는 어렵기에 인간들은 휘어진 공간을 평탄한 공간에 옮긴다. 지도 (Atlas)라고 부른다.

 

지도위에 수직인 좌표, 가로 세로 좌표를 그을 수 있다. 이 좌표에 해당하는 것이 기준 벡터 (basis vector or coordinate vector)이다. 곡면 (manifold)상의 한 점은 해당 점 주변의 tangent plane을 나타내는 지도로 옮겨지고, 그 지도의 좌표로 표시된다. 문제는 지도는 전체 지구를 나타낼 수 없고, 각 지점마다 지도의 조각이 주어진다는 것이다. 서로 다른 두 지점을 비교하려면, 두 벡터를 비교하려면 지도를 비교해야 한다. 지구의 경우는 균일하게 평탄하기에 각 tangent plane의 곡률이 동일하나, 복잡한 공간이라면 비교가 쉽지 않다. Manifold 상의 한 벡터 V를 나타내는 표현을 보자.

 

 

제일 위에 있는 식은 벡터 V를 기준 벡터 e와 좌표 값으로 표시한 것이다. 미분 기하학에서는 기준 벡터를 그 오른쪽에 있는 것처럼 미분 연산자로 대체한다. 그렇게 하면 Vf=<V,grad(f)>가 되어, 스칼라 함수 f의 V방향으로 미분, 기울기를 표현한다. 아래쪽에서는 동일한 벡터를 Q라는 지점의 좌표로 표시한 것이다. 이때, 좌표값들과 기준벡터의 변환룰이 다르다. 좌표값들의 변환에 따라 변화되는 양을 contravariant vector, 기준 벡터 처럼 변환되는 양을 covariant vector라고 부른다. 식에서 보듯이 벡터 자체는 변화하지 않았다. 기준 축이 변하기 때문에, 좌표값-표현-이 달라졌을 뿐이다.

 

이전 포스팅에서 미분에 대해서 정의하였다. Affine connection 혹은 Christoffel symbol을 정의하여 두 지점의 벡터를 비교하는 방법, 공변 미분 covariant derivative 를 정의하였다. 다시 한번 수식을 적으면

 

이러한 미분 방법을 Affine connection이라고 부르며, 공변 미분은 위에서 보듯이 편미분과 Christoffel (connection coefficient)의 조합으로 구성된다. 두 지점의 벡터의 비교는, 그 좌표값의 차이 뿐 아니라, 기준이 되는 벡터를 맞추어야 하기 때문이다. 즉, 두 지점의 지도를 같은 형태로 만들어야 하기 때문이다.

 

공변 미분을 정의하였기에, 휘어진 공간을 따라, 벡터를 고대로 옮기는, parallel transport 방법을 생각할 수 있다. 벡터 V가 경로를 따라, 공변 미분이 0일 때, 평행이동했다고 한다. 즉,

 

이전 포스팅에서, 휘어진 공간에서 폐루프를 따라서, 벡터를 그대로 조심조심 이동해도 원래 벡터와 방향이 틀어지게 됨을 설명하였다. 이제 정확히 그 양을 정의하려면 계산을 해야 한다. 아래와 같은 폐루프를 생각해보자.

 

점 p에서 두개의 벡터 X와 Y가 주어졌다고 가정하자. u는 Y->X로 진행함에 따른 벡터의 변화량을 나타내고, v는 X->Y로의 진행에 따른 경로이다. 두 경로를 따라서 이동한 두 벡터 u와 v가 얼마나 다른지를 측정하면, 혹은 Y -> X -> (-Y) -> (-X) 로 한바퀴 폐루프를 그린 후에 두 벡터가 얼마나 다른지를 측정하고 이로부터 Riemann tensor를 정의한다. 이것을 수식으로 표현하면

 

위에서 mu와 nu가 그림의 X, Y라고 생각하면, 위의 식은 p->X->Y 경로로 이동하면서의 벡터의 변화량과 p->Y->X방향으로 벡터의 변화량을 비교한다는 것을 나타내는 수식이다. 위의 수식에 공변미분의 정의식을 넣고, 한페이지에 걸쳐서 계산을 하면 (지겹지만, 전혀 어렵지 않다. 한시간 정도 꼼꼼이 계산하면 된다) 아래와 같은 리만 텐서를 만나게 된다.

 

위 수식에서 R로 표시된 rank 4(변수가 4개임..) tensor를 리만 텐서 (Riemann tensor)라고 정의한다. 벡터를 휘어진 공간에서 parallel transport했을 때, 원래 벡터와 얼마나 차이가 나는지를 측정할 수 있는, 공간의 휘어진 정도를 정확히 나타내는 텐서이다. 수식을 보면 알 수 있듯이, Christoffel symbol의 미분이므로 metric의 2차 미분으로부터 결정되는 값이다. 4개의 값이 4개의 값을 취할 수 있기에 4x4x4x4=256개의 자유도가 있지만, 아래 수식에 있는 것과 같은 대칭성을 활용하면 실제의 자유도는 그렇게 크지 않다.

 

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아인슈타인의 장 방정식은

 

로 주어진다. 이를 위해서 또 하나의 텐서, Ricci 텐서를 도입해야 하는데, 이것은 4차의 Riemann 텐서의 2차원을 축약한 아래 수식으로 정의된다. Ricci 텐서는 행렬처럼 생각할 수 있는데, 이 행렬의 대각원소들을 더한 것, trace를 구하면 단 하나의 스칼라 값으로 표시되는데 이것을 Ricci scalar이라고 부른다.

 

아인슈타인의 장 방정식은, 물질 혹은 에너지가 주어진 경우 (위에서 T가 주어진 경우), 공간들이 어떻게 요동치는지를 표현하는 수식이다. 즉, 뉴턴 역학에서 시간과 공간이 존재와 상관없이 백그라운드에 주어지고 그것을 기준으로 얌전히 존재의 운동경로를 얘기했다면, 일반 상대성이론에서는, 존재가 시간과 공간을 만들고 변화시키고 그 시공간위에서 존재들이 운동한다는 심오한 얘기를 한다.