통계역학, 브라운 운동과 확산

 

어제 집사람과 soul이라는 영화를 보았다. 코로나 와중의 평일의 영화 상영관은 거의 private movie theatre, 사설 영화관을 방불케 할 만큼 한산하다. 음료는 취식이 가능하다고 해서 커피 한잔을 뽑아서 여유롭게 관람하였다. 

 

                        <피카소 그림을 닮은 Jerry>

 

soul의 주인공 조 가드너는, 자신이 어렸을 때 본 강렬한 기억, 재즈 음악을 하여 최고의 무대에 서기 위하여 비정규직 음악 쌤을 하면서 하루하루 살아간다. 그것이 그에게 삶의 의미이다. 자신이 꿈꾸던 무대에 서기로 되어 있는날 너무 그 생각에 집착하다가 멘홀에 빠져서 저 세상으로 가지만, 필사의 의지로 탈출하여 유세미나 (태어나지 않은 영혼 훈련장)로 탈출한다.

 

또 다른 주인공인 영혼 22호(No 22)는 지구에 신생아로 태어나기 전에 보내는 유세미나에서 위대한 영혼(마더 테레사, 간디, 마리 앙토아넷, 무하마드 알리 그리고 칼 융)멘토들에게 훈련되지만, 태어나기 위한 아무런 의미도 찾지 못한 채, 계속 방황을 하면서 유세미나를 떠나지 못하고 있다. 

 

한 명의 주인공은, 자신이 부여한 무거운 의미를 위하여 모든 인생을 목표에 맞춘 채 살아가고, 다른 한명의 주인공은 자신이 부여할 어떤 무거운 의미도 찾지 못한 채, 시도조차 하지 못하고 있다가 유세미나에서 영혼의 멘토와 멘티로 만나서 겪는 에피소드를 다룬 영화이다. 

 

 soul의 결론은 간단하다. 나는 그냥 나 자신으로 충분하고, 그냥 현재의 순간, 순간을 느끼고 음미하라는 것이다. 인간들은 누구나 저만의 집착을 가지고 살고 있다. 각자가 부여한 의미에 따라 자신을, 다른 이들을 평가하고 인정을 받고자 노력한다.현재 나의 행동도 사실 무의미한 집착일 뿐이다. ..언제부터 그러한 집착에 빠졌을까.. 기억이 잘 나지 않는다. 

 

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생명 활동은 엔트로피 증가에 따른 확산 현상과, 태양에서 매 순간 쏟아지는 광자가 전달해 주는 에너지에서 연쇄된 반 엔트로피 현상 이 두가지의 절묘한 조합이다. 어떻게 이러한 정교한 반 엔트로피적인 사건이 발생하게 된 것인가, 어떻게 생생명체는 국부적으로 물리적인 자연 법칙을 반하면서 존재하게 된 것일까.. 생각하면 할수록 신비한 현상이다. 이 모든 것은 작은 것들이 큰 것들을 이루면서, 나타나는 구조적인 성질들, emergent phenomenon 에서 기인한다. 우주의 모든 모습이 하나의 chaos에서 발생했다는 사실... 이 기적적인 사실을 매 순간 느낄수 있다면 세상의 모든 고민은 사소해 보일 수도 있다. 

 

영화 Tenet에서 주도자는 인버전 상태에서 마스크를 쓰고 임무를 수행한다. 엔트로피의 반대 흐름으로 물질이 이동하면 일반적인 방법, 즉, 폐를 확장시켜서 자연스럽게 공기를 들이킬 수 없기 때문이라고 가정했을 것이다. 그러나, 사실 그것은 의미가 없다. 세포의 말단에서 모세혈관에서 세포로의 물과 양분의 세포내 주입과정이 바로 확산 과정이기 때문이다. 엔트로피가 거꾸로 흐르면 생명은 죽음 향해서 갈 수 밖에 없다. 생명은 교묘하게도 엔트로피를 이용하고, 또한 필사의 사투를 거쳐서 엔트로피의 비탈길을 거슬러 올라간다. 사실 과학적 관점에서 무생명이 훨씬 자연스러운 상태이다.

 

물에 물감을 푼다. 물감은 시간이 지남에 따라 섞인다. 이것을 확산(diffusion)이라고 부른다. 원자의 존재를 모른다면 이것은 아주 신비로운 현상처럼 보일 것이다. 그러나, 원자의 존재와 확률이라는 수학적 도구를 갖춘다면 이것은 사실 아주 간단한 현상일 뿐이다. 아래에 확산과정 Brownian motion에 대해서 간략히 수식을 따라가 본다. 아주 간단한 수학이지만, 관심이 없는 분들에게는 그냥 이해할 수 없는 외계어일 뿐일 것이다.

 

왜 통계역학이 필요한가? 세상이라는 시스템이 chaos이기 때문이다. 태양 흑점의 작은 변화가 지구 대기에 0.00000...1%를 변화시켜도.. 존재들 간의 복잡한 상호 작용은 지구와 인간의 운명을 바꿔버릴 수 있다. 세상은 인연에 의한 영원하고 복잡한 연기에 의해서 움직이기 때문이다. 혹자들은 이것을 나비 효과라고 부른다.

 

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1차원 random walk problem을 생각해 보자. 문제는 간단하다. 좌로 이동할 확률이 a, 우로 이동할 확률이 b이다. 한 움직임과 다음 움직임은 관련이 없다. 이 때, N번 움직임을 거쳤다면 나의 평균 위치와 분산을 구하면 된다. 고등학교 시험문제로 나올만큼 쉬운 문제이다. N번의 시도에서 좌측으로 m번 이동할 확률을 구해 보자.

결과는 무지 간단하다. N에 왼쪽으로 이동할 확률을 곱하면 된다. 만약 a=b=1/2이라면 그냥 그 자리에 있을 것이다. 분산은 얼마인가? 동일한 계산을 해보면

만약 N이 커진다면 central limit theorem에 의해서 확률 분포는 다음과 같은 Gaussian 분포를 가진다.

이제 N번 try 해서 서있는 위치는 N(a-b)라는 random variabel이고, 만약 a=b=1/2이라면 평균은 0이고 표준편차는 sqrt(N) 가 될 것이다. 즉, 횟수가 많아지면 평균은 0이겠지만, 어느 한 순간에 보면, 좌나 우측으로 많이 벗어나게 되는 것이다. 이것은, 꽃가루가 물 위에서 이리 저리 위치를 바꾸는 원인이다.

 

이제 2D random walk problem을 풀어보자. 이것은 술취한 사람이 비틀비틀 걷는 것과 비슷하기에 drunkard stumbling problem이라고 불린다. 이제, N단계에 걸쳐서 길이 l만큼씩 진행한다고 가정하자. 단, 각 지점에서 방향은 완전히 reset된다. 이제, j 번째와 k 번째 step 에서 진행하는 벡터의 내적을 구해보자.

이제 N step후의 위치를 구하면

1차원과 마찬가지로 평균은 0이지만, 회수 혹은 시간이 지날수록 점점 더 넓은 범위를 돌아다닌다. 이것이 바로 확산의 원인이다.

이것은 사실 diffusion equation 이라고 하는 다음 방정식으로부터 구한 해와도 동일하다. 다른말로는 위의 해는 아래 확산 방정식을 만족시킨다.

이제 n(x,t)를 시간 t, x지점에서의 입자의 수 혹은 농도라고 얘기한다면 n(x,t)=NP_t(x)이고 이것은 위의 확산 방정식을 만족시킨다. 즉,

위의 D를 diffusion constant라고 부르고, 제일 오른쪽 방정식을 Einstein-Smoluchowski equation이라고 부른다. 위의 방정식이 형태적으로 Schrondinger 방정식과 동일함이 흥미있다.

위에서 t가 0으로 가면 n(x,t)=delta(x)이다. 이 경우, 시간 0에 y라는 원점에서 시작한 확산은 시간 t에는

전자공학과에서 impulse response , delta 함수 source가 있을 때, 시스템의 반응을 물리학자들은 Green’s function 이라고 부른다. 위에서 P_t(x)가 Green’s function의 kernel 이다. Brownian motion의 기본적인 공식들이다.