디락 방정식 II

 

양자역학에서 양자장론, 입자 물리로 이어지는 경로에서 핵심적인 방정식 중 하나가 이전 포스팅에서 소개한 디락 방정식이다. 디락 방정식 자체의 의도는 Klein-Gordon 해법의 일부 문제를 해결하기 위한 것이었고, 디락도 처음에는 자신의 방정식의 의미가 그런 간단한 것인 줄 알았다. 그러나, 그 방정식은 디락의 의도보다 훨씬 심오한 의미를 담고 있었다. 양자역학의 비약적 발전은 디락 방정식의 도입 이후 부터라고 해도 과언이 아니다.

 

존재의 본질, 우주의 수학적 구조를 아름답게 그리는 작업이 시작된 것이다. 사실 그 시작은 하이젠 베르그가 먼저 일수도 있다. 우리는 전자가 어떻게 생겼는지 모른다. 어떠한 형태로 존재하는지도 모른다. 그러나 전자의 움직임을 예측할 수 있다. 그 본질과 긴밀하게 대응된 수학적 구조물을 이해하기 때문이다. 그러한 수학적 구조물 자체가 실재하는지는 모른다. 물리학자들 중에도 실재론자가 있고, 유명론자가 있다. 수학적 구조가 실재한다고 믿는 사람들의 세상에 이 세상은 거대한 quantum computer 내의 simulation program일 수도 있다.

 

이번 포스팅에서는 디락 방정식의 해를 구하고, 그 의미를 파악한다. 먼저, 디락 방정식으로 부터 확률 밀도와 확률 전류를 다음과 같이 구해 보자.

 

5. Probability density and current

디락 방정식으로부터 그 conjugate transpose (dagger표시)를 구하면 아래와 같다.

 

위에서 좌우변을 같이 만들고 싶다면 아래와 같이 파동함수에 gamma_0 행렬을 곱해 주면 된다.

 

이제 이렇게 구한 방정식으로부터 확률 밀도, 전류를 구해 보자.

 

이렇게 구한 확률 밀도 함수와, 확률 전류가 K-G(Klein Gordon)방정식의 그것들과 차이가 있음을 주목하라.

 

6.Solution of Dirac Equation

Free fermion에 대한 파동방정식의 해는 아래와 같은 dirac spinor에 plane wave를 곱한 형태이다.

 

먼저 움직임이 없는 경우, 즉, p가 0인 간단한 경우를 살펴보자.

 

이제 p가 0이 아닌 경우를 살펴보자. 동일한 방식으로 해를 구하면 아래와 같다.

 

U1과 u2의 경우dp 전자의 에너지는 아래와 같이 negative energy가 존재한다.

 

사실, Dirac 방정식에서도 여전히 음의 에너지는 존재하지만, 앞서 유도한 probability density, current 식에 따르면 K-G 방정식과 같은negative probability 문제는 발생하지 않는다. 정리하면 아래 그림과 같다. 어느쪽을 양의 에너지로 보느냐는 사실 중요하지 않다. 아래 2개중 하나의 solution을 택하면 된다. 4차원 공간이기에 4개의 벡터로 bi-spinor을 표시할 수 있다.

 

확률이 음수는 아니지만 도대체 음의 에너지란 어떤 의미인가? 디락은 고민을 하다가, 음의 에너지의 바다, dirac sea를 생각한다. 이 세상은 음의 에너지의 입자들로 가득차 있다. 에너지 레벨이 0이 될때까지는 채워져 있다. 아래 그림의 제일왼쪽 그림이 바로 음의 바다가 채워진 상태를 나타낸다. 이제, 빛이 음의 바다에 비추면 음의 바다의 전자 하나가 양으로 튀어오르면서 음의 바다에 hole 이 생기고 이것은 반도체의 hole처럼 +전하를 띤 anti-particle로 생각할 수 있다. 제일 오른쪽은 전자와 양전자가 만나서 다시 빛으로 변하는 과정, 즉, 음의 바다가 채워지는 과정을 나타낸다. 음의 바다라 … 사실 이상한 얘기이다. 그냥 재미삼아 흘려 들어도 된다.

 

파인만은 Dirac 의 negative energy 개념을, 시간적으로 음의 방향으로 진행하는 particle 혹은 양의 방향으로 진행하는 antiparticle로 해석한다.

 

디락은 이렇게 전자의 운동을 눈에 보이지 않는 형이상학적인 존재 4x1 bispinor vector로 묘사하고 양전자의 존재를 예측한다. 그리고 몇 년 후 Anderson에 의해서 (1933) 양전자는 실제로 발견된다. 같은해 디락은 슈뢰딩거와 함께 노벨상을 수상한다. 위키에 디락의 신중하고 과묵한 성격에 대한 흥미있는 얘기가 나온다.

 

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8F%B4_%EB%94%94%EB%9E%99  읽어봐도 괜찮을 것이다.