Four momentum

특수 상대성 이론의 이해에는 간단히는 운동하는 방향으로 길이과 질량, 시간이 변한다고 이해하면 되겠지만, 조금 깊이있게 이해하려면 아래 4가지 주제를 수학적으로 이해하면 될 것이다.

 

1. 기본 가정의 이해 (상대성, 광속 불변)

2. 로렌츠 변환의 이해 (rotation in Minkowski space)

3. 4 vector의 이해

4. 전자기장의 이해

 

앞서의 두가지는 설명하였고, 오늘은 3에 대한 수학적 기술을 한다. 2에 대해서 좋은 내용을 올렸지만, 밴친분들이 별로 이해한 것 같지는 않다. 때가 되지 않았기 때문일 것이다. 미국 드라마 로스트에 보면, 후계자를 찾기 위하여 마치 티벳의 환생 고승을 찾듯이, 물건들을 내어 놓고 이것을 이해하고 있는지 질문한다. 질문을 못할때, 그 사람이 얘기한다... "it's not the time yet...".. 이해가 안되시면 아직은 때가 되지 않았을 것이다. 수학적인 기초가 필요한 것이다.

 

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상대성 이론에서는 4-vector 얘기를 많이 한다. Space time (t,x,y,z)상에서 정의된 vector이다. 이미 텐서의 변환룰에서 소개한 데로 4 vector는 벡터의 변환룰을 따라 변환되는 물리 객체를 의미한다. 4-displacement, 4-velocity, 4-momentum 등이다.

먼저 4-displacement를 정의하면 이것은 4차원 시공간의 두 event 사이의 거리이다. (cdt, dx)라고 생각하면 된다. 이로부터velocity 4 vector를 구해보면

 

존재들은 4차원 시공간에서 광속으로 흘러간다고 얘기한 것의 수식적 의미이다.

만약 공간적으로 이동이 없다면 시간 축으로 광속으로 흘러간다. 시간축에서 존재가 멈추는 순간, 존재 내부의 엄청난 에너지가 바깥으로 표출된다.

 

속도 4 벡터로 부터, 4 momentum을 정의하면

 

가속도 4 vector도 다음과 같이 정의할 수 있다. 이미 알고 있는데로, 가속도와 속도 벡터는 수직이다. 원운동에서 가속의 방향은 중심이고 속도 벡터는 접선의 방향이다.

 

상대성이론에서 energy 와 공간적인 운동량은 다음과 같이 정의된다. 정지 좌표계에서 바라본 운동하는 물체의 에너지와 운동량을 표현한 것이다. 이것을 다른 식으로 해석하면, 운동하는 물체의 질량이 Lorentz factor만큼 증가한다고 설명할 수 있으나, 현대적인 설명에서는 움직이는 물체의 질량을 얘기하는 것을 좋아하지 않는다.

 

정지 질량이 m_0인 물체는 E=m_0c^2 의 에너지를 가지고 있다. 만약 속력이 느릴 경우에는 다음과 같이 뉴턴 근사화가 가능하다.

 

일반적으로 운동하는 물체는 1/2 mv2의 운동에너지를 가진다고 얘기할 때의 에너지 공식이다.