레비시비타 심볼

 

상대성이론에서 자주 보는 텐서에는 metric tensor도 있고, 다음과 같은 Levi-civita tensor도 있다. Levi-civita tensor는 index가 (0,1,2,3)의 even permutation이면 +1을, odd permutation이면 -1을 , 만약 index들이 하나라도 겹치면 0의 값을 가진다.

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위의 레비시비타 심볼을 이용하면, 전자기 텐서의 dual form을 정의할 수 있다. (전자기 텐서는 아래에 2개의 첨자가 있는 걸로 정의되기에 electromagnetic 2-form 이라고 하기도 한다. 일전에 설명한데로 1-form은 1개의 벡터를 입력받아 실수(복소수)값을 출력하는 mapping이고, n-form은 n개의 벡터를 입력받아 실수를 출력하는 mapping이다. F_{mn}은 아래에 첨자가 있기에 위에 첨자가 있는 벡터 2개를 입력받아서 scalar 값을 출력한다. 아래 form을 Hodge-dual form이라고 부르기도 한다. 원래 텐서의 E자리에 cB를 B자리에 -E/c를 넣으면 구해지는 형태이다.

 

이전 포스팅에서 보았듯이, 이제 4개의 방정식으로, 좌표의존적인 형태로 표시되던 Maxwell 방정식은 아래와 같이 아름다운, 2개의 텐서 방정식으로 요약된다. 아래 Maxwell 방정식은 좌표 변환에 불변은 아니다. Lorentz scalar가 아니기 때문이다. 다른말로는 nu라는 첨자가 여전히 남아있기 때문이다. 그러나, 텐서 방정식으므로 Lorentz covariant 하게 표현되는 방정식이다.

 

위의 식의 두번째 방정식은 Bianchi identity라는 형태로 표시되기도 한다.