전자기학의 텐서 표현

1-4. 전자기학

특수 상대성이론에서 얘기하는 전자기학에 대해서 간단히 얘기하자.

이전 포스팅에서 얘기한데로, 이론에서 4-vector의 개념을 이해하는 것이 요구된다. 4-vector는 vector의 변환룰을 따르고, 여기서 변환은 로렌츠 변환을 의미한다.

 

먼저 charge/current 4 vector를 정의하면

 

 

Potential 4 vector를 정의하면

 

연속 방정식 혹은 전하 보존의 법칙을 방정식으로 표현하면, 오른쪽과 같이 간단히 표시된다. 어떤 속도로 이동하는 물체에서도 전하 보존의 법칙은 성립한다. 로렌츠 스칼라, Lorentz Invariant quantity이기 때문이다.

 

전자기학에서 B field는 포텐셜 벡터 A의 curl 성분에만 의존하므로 A의 divergence 성분은 마음데로 선택할 자유도가 있다. 이것을 gauge freedom이라고 한다. 다음과 같은 게이지 선택 방법을 Lorentz gauge (를 선택 했다) 라고 부른다.

 

이 경우, 4 potential vector는 다음과 같은 Poisson 방정식을 만족해야 한다.

 

포텐셜 필드가 정해지면, 이로부터 구해지는 전기장, 자기장은 다음과 같이 표현된다 (전자기학 참조).

 

 

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특수 상대성이론에서는 전자기장을 전자기 텐서로 설명한다.

먼저 4 potential vector로부터, 다음과 같은 (0,2) tensor F(전자기 텐서)를 정의한다. 아래 정의에서 보이는데로 전자기 텐서는 anti-symmetric이며 6개의 자유도(Ex~Bz)를 가진다.

 

전자기 텐서는 로렌츠 텐서이기에 다음과 같은 로렌츠 변환 룰을 따른다.

 

로렌츠 변환은 기본적으로 회전 변환이다. 이중 space 방향에서의 회전 변환이 있을 수 있고, time축을 포함한 회전 변환이 있을 수 있다. Time을 포함한 회전 변환 시에는 시공간의 축에서 회전하기 때문에 시간팽창, 길이 단축이 목격되고 이를 Lorentz boost라고 부른다. 만약 x방향으로 일정속도 v로 움직인다면 (ct, x) 방향에서 hyperbolic space rotation이 수행된다. 수식으로 살펴보면

 

정지 좌표계에서 E필드로 보이는 것이, 이동하는 좌표계에서는 B로, 그 반대로 보인다. 즉, 시간과 공간이 4차원 시공간에서 섞이는 것처럼, 전기장과 자기장이 4차원 시공간에서 섞인다. 세상은 이렇게 관점에 따라서 다르게 보이기도 한다. 내가 보는 세상이 오로지 진실이라는, 나만의 정의를 외치는 우를 범하지 않기 바란다.

로렌츠 변환에 대해서 변하지 않는 것을, Lorentz invariant 하다고 하고, 그 양이 scalar인 경우에, 이를 Lorentz scalar라고 부른다. 다음 값은, 이동속도에 관계없이 모든 관성계에서 동일하게 관측된다.