자신을 인식하는 물질, 존재와 의식... 자연철학적 접근

그룹 얘기를 했으니, 이제 Ring구조에 대해서 얘기할 차례이다. 원래는 한번에 다 올리려고 했지만, 내용이 길어져서 두번에 나누어서 정리해 본다. ========================== 1. group, ring, division ring, field 그룹에 이어서 Ring이란 대수구조를 한번 정리해 보자. 일전에 간단히 개념을 소개한 데로, group은 {set, +-} 가 잘 정의된 대수이고, ring은 {set,+-x}까지가 잘 정의되는 구조이다. %가 정의되려면 0을 제외한 각 원소들이 x에 대한 역원을 가져야 한다. 즉, 일반적인 ring은 각 원소의 x에 대한 역원이 존재할 필요가 없다. 그러나, 모든 원소에 대해서 역원이 존재하는 경우, 그래서 {set,+-x/}까지의 사칙연산이 ..

Euler characteristic은 도형의 꼭지점, 모서리 면 사이의 관계식으로 x=V-E+F 이며, convex polyhedron의 경우 (흔히 말하는 n면체) V-E+F=2라는 오일러 polyhedron 공식(1758)을 얻는다. 이전에 얘기한데로 이것은 3차원상의 2차원 구면 S2의 오일러 지표에 해당한다. Convex란 그 집합의 서로 다른 두 점을 연결한 선의 모든 점들이 그 집합에 속하는 경우를 의미하는데, 도형을 이상하게 만들어서, convex 하지 않다면 위의 공식은 성립하지 않는다. 아래는 tetrahemilhexaqhedron이라는 도형은 직관적으로 이해하기가 쉽지는 않지만, 이것을 펼쳐서 해석하면, 4개의 삼각형과 3개의 사각형의 조합으로 이루어지며, F=7, E=12, V=6 ..

학부 수학 과목에서 많은 용어들을 만나며, 이것은 다른 수학 과목을 이해하는데 있어서 언어처럼 작용하기에 익숙해져야 한다. 선형대수학을 만나면, vector/vector space/rank/null, column, row space/kernel, cokernel/symmetric, orthogonal, unitary, projection, positive (semi) definite matrix /spectral factorization/eigen value, eigen vector, diagonalization, singular value/ LR, QR, SV decomposition/등 다양한 용어들을 접한다. 마찬가지로 현대 대수학에서는 group, ring, field, subgroup, norm..

아핀 평면(Affine plane)은 점과 선으로 구성되고 두 점으로 유일한 직선이 지정되고, 직선은 최소 2개의 점을 가지고, 직선위에 있지 않은 한점을 지나면서 그 직선을 지나지 않는 유일한 직선이 지정되고(Playfair’s axiom), 한 직선위에 있지 않은 세 점을 지정할 수 있다는 공리들이 성립하는 공간이다. 바로 유클리드 공간이 대표적인 아핀 공간이다. 이 개념을 유한체 기하학에 응용하면 유한체 유클리드 공간의 개념을 확장한 아핀 공간을 정의할 수 있다. 유한체 기하학에서 직선은 유한개의 점들로 구성되며 2개의 직선은 한점에서 만나며 평행한 두 직선이 존재한다. 또한 한 직선에 있지 않은 점을 지나며 그 직선과 평행한 직선이 유일하게 존재한다(playfair’s axiom). 어떤 세개도 ..

어떤 수 n이 주어졌다고 하자. 이것이 소수인지 어떻게 알 수 있을까? 암호학에서 아주 큰 수를 소인수 분해하는 것은 중요하다. N=n1n2.. np로 나누는 단계를 언제까지 진행하다 멈춰야 하는지를 알아야 효율적인 소인수분해가 가능하다. 이 문제는 그 문제의 단순함에 비해서 풀기가 쉽지 않고, 대부분 확률적 복잡도에 기반한 알고리듬들을 사용하고 있다. 타원곡선이론으로 이 문제를 해결하는 것이 1993년 Atkin-Morain에 의해서 발표된 ECPP (elliptic curve primality proof) 알고리즘이다. 인수분해 문제에 타원곡선을 적용한 최초의 수학자는 독일 수학자 HW Lenstra (1985)이다. ECPP는 현재까지 알려진 소수 테스트 방법중 가장 속도가 빨라서 O(log(n)^..

x^2+y^2=1 를 만족하는 유리수 점은 몇 개가 존재할 것인가? 그것들을 체계적으로 찾을 방법은 없는가? 무한개. 찾는 방법은 아래와 같이 하나의 해 (-1,0)에서 유리수 기울기를 가지는 직선과 원의 교점을 구하면 된다. 기울기 한 값마다 한 점씩 나오므로, 유리수의 집합만큼의 점들을 찾을 수 있다. 1. find one such point : x=(-1,0) for example 2. draw a line that pass through x, y=rx+s s.t. 0=-r+s so s=r or y=rx+r 3. put this to x^2+y^2=1, then x^2+(r(x+1))^2 or (1+r^2)x^2+2r^2x+r^2-1=0 4. so, x=(-2r^2+2)/2(r^2+1)=(1-r^2..

타원 곡선 위의 유리수 해의 개수는 몇 개나 될까? 일단 두 유리수 점, P와 Q를 구하고, 타원곡선의 대수 방법 즉, P+Q는 두 점을 이은 선과 타원의 다른 점과의 교점 R을 x축에 대해서 대칭시킨 점, 즉 -R을 구하면 되는데, 두 점이 유리수일 경우, 기울기도 유리수이고, 그 직선위에 있기에 당연히 P+Q점도 유리수이다. 이제, R점과 다시 Q점을 잡아서 R+Q를 연결해서 새로운 점을 찾고, 이렇게 계속하면 무한개의 점들이 나올 것 아닐까? 문제는, R=P+Q, W=Q+R=P+2Q, W+Q=P+3Q,.. 이렇게 진행하다보면 nP=0이 되는 경우가 발생한다는 것이다. 이러한 n을 P의 차수(order)라고 부른다. 차수가 유한한 원소를 torsion element라고 부르고, 이렇게 finite o..

정수론에는 아직 해결되지 못한 수학적 문제들이 여러 개 있다. 그 중 하나가, congruent number problem이다. 만약 세 유리수 a,b,c가 피타고라스의 정리를 만족할 때, c^2=a^2+b^2 이면서, 그 도형의 넓이 S=ab/2 가 정수인 S가 존재할 것이다. 문제는, 어떤 정수 S가 주어졌을 때, 그것이 congruent number 인가? 이다. 이제까지 알려진 congruent number들은 OEIS A003273 수열에 해당한다. “5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29 …”, 생각보다 많다. 예를 들어, 5=(20/3,3/2,41/6)의 세 유리수로 이루어진 직각 삼각형의 넓이에 해당한다. 만약 어떤 수 q가 congruent ..