자신을 인식하는 물질, 존재와 의식... 자연철학적 접근

양자 역학에서 같은 공간에 같은 입자들이 존재하면 그들은 구별되지 않는다. 고전 역학적으로는 한 입자를 끝까지 스토킹하면 모든 입자들을 A, B, C와 같이 이름지을 수 있지만, 가장 본질적인 레벨에서 신은 세상을 그렇게 만들지 않았다. 두 입자들이 멀리 떨어져 있으면 그들은 서로 독립적으로 움직이는 것처럼 보이고 실제로 그렇게 해석해도 무방하다. 그러나 그들이 가까이 접근하고 파동이 합쳐지기 시작하면, 그들은 스스로의 정체성을 잃어버린다. 열심히 쫓아가서 "너 영자냐" 하면, 그는 "쟤가 영자야"라고 하고, 반대로 쫓아가도 마찬가지이다. 그들은 같은 존재이면서 동시에 다른 존재이다. 자연은 이렇게 가장 본질적인 레벨에서는 분별지를 잃어버린다. 선도 없고, 악도 없다. 그냥 인연으로 엮일 뿐이다. 인류는..

quantum entanglement, 양자 얽힘은 참 흥미있는 현상이다. 그 시작은 바로 두개의 입자가 존재하고 각각이 각자의 양자 상태를 가질 때, 전체 시스템의 양자 상태는 각 양자 상태의 tensor product로 주어진다는 사실이다. 텐서곱이라.. 현대 물리에서 텐서를 피해 나갈 방법이 없는데, 많은 밴친 분들이 텐서에 막혀서 진도를 나가지 못하는 경우를 많이 본다. A, B가 각각 spin up/down |0>, |1> 두 가지만 가질 수 있다면, A와 B가 서로 얽히지 않은 경우에는 |0>|0>, |0>|1>, |1>|0>, |1>|1> 의 중첩 상태를 가질 수 있다. 그리고 보통은 그들 상태는 어떤 확률 분포를 가지면서 모두 존재할 수 있다. 이를 mixed state라고 부른다. A, ..

양자역학에 관심이 있다면 양자지우개, quantum eraser라는 말을 들어봤을 것이다. 못 들어보신 분도 있을 것이니 간단하게 설명해 보자. 먼저 레이저 포인터로 벽을 비춘다. 거리가 멀면, 벽에 둥글게 초점이 흐려진 붉은 영역이 보일 것이다. 이제, 벽과 포인터 사이에 수직으로 긴 줄을 하나 놓은 후, 벽을 바라보자. 그러면 아래와 같은 간섭 패턴을 관측할 수 있다. 빛은 파동이이고 wire때문에 그 빛은 좌측과 우측으로 갈라져서 벽에 도달할 때에 상쇄 혹은 보강 간섭하기 때문이다. 빛은 파동이다. 빛은 수직 혹은 수평 혹은 회전 편광이 가능하다. 빛을 수직 편광기를 통과시키면 수직 방향 성분만 남고 반대로 수평 편광기를 통과시키면 수평 방향 성분만 남는다. 입체 영화를 우리가 감상할 수 있는 방식..

현대 물리학, 상대성이론과 양자역학은 존재의 본질에 대해서 상당히 재미있는 얘기를 한다. 우리는 누구인가가 아니라 우리란 무엇인가에 대한 질문에 대해서 말이다. 물리학과 자연과학에 시간을 뺏기지 않을 때, 나는 현실과 가까워 진다. 재테크 방법, 친구들과의 관계, 여행은 어디로 갈까, 주말에는 어떤 카페에서, 어떤 여행지에서 재미있는 시간을 보낼까... 그러나, 실제로는 나는 실제와는 더 멀어져서, 현상계에 몰입하게 되는 것이다. 대부분의 범인들은, 자신이 무엇인지, 내가 여기 있게 된 역사적 경로는 무엇인지에 대해서 거의 관심이 없다. 심지어는, 자신이 죽음을 향해 가고 있는 존재인지도 망각하고 마치 영원히 존재할 수 있는 것처럼 행동한다. 여기에는 사실, 본질에서 방향을 돌리고 싶어하는 불순한 의도,..

광자 한 개.. 두개.. 이렇게 셀 수 있다는 말은 우리는 광자를 입자로서 생각한다는 얘기이다. 빛은 파동인데, 이렇게 한 개 두개 조각을 낼 수 있을까? 자주 얘기한 데로, 그것은 가능하다. 그리고, 진정 광자 한개로만 이루어져 있는지도 확인할 수 있다. 그것은 Mach zehnder interferometer라고 불리는 장치를 통해서이다. 아래 그림이 바로 그 장치이다. 장치는 50:50 beam splitter(BS1, BS2)라고 불리는, 광자의 경로를 반은 통과 반은 반사시키는 장치, 그리고, 거울 2개(M1, M2), 그리고 빛 알갱이가 도달하면 울리는 광검출기 D1, D2를 통해서이다. 우리가 관측하려는 단 1개의 광자와 진공에 존재하는 vacuum photon 들이 먼저 첫번째 빔 분리기 ..

양자장론에서 공간에 아무것도 없을 때에도 field는 존재한다. 그리고 불확정성의 원리에 따라 그 field는 항상 요동치고 있다. 이를 quantum fluctuation 혹은 vacuum fluctation이라고 부른다. 이러한 요동은 당연히 에너지를 가지고 있고 이를 zero-point energy (ZPE) 혹은 vacuum energy라고 부른다. 오랫동안 인류의 머리에서 사라졌던 에테르의 부활이다. 광자는 파동이지만 매질이 없다. 따라서 에테르는 없다. 그러나, 광자는 field위에서 요동친다. 에테르는 있다. 진공에 있는 모든 에너지를 모으면 얼마나 될까… 전구 하나에도 전세계 바다를 모두 끓게 만들 수 있는 엄청난 에너지가 스며들어 있다. 그렇게 엄청난 에너지가 공간에 있는데, 어떻게 이 ..

“도가도 비상도, 명가명 비상명” 노자의 도덕경은 참으로 묵직한 울림을 주는 말로 시작한다. 도라고 말하면 도가 아니고 철수하고 부르면 철수가 아니다. 이 말은 참으로 다양한 해석이 가능하고 그 해석에 따라, 노자를 읽는 전체 독서의 방향성도 설정된다. “도”를 언어로써 규정지을 때, 그 언어의 여백 사이의 의미가 상실되고 도는 언어의 그물망을 벗어나서, 저 곳으로 달아난다. 또한, 우리가 “도”라고 말할 때, 그 도는 이미 과거의 “도”이기에, 변화 무쌍한 변화로서의 의미를 캐치하지 못하게 된다. 김춘수의 꽃은 “내가 그의 이름을 불러주기 전에는 그는 다만 하나의 몸짓에 지나지 않았다. 내가 그의 이름을 불러주었을 때 그는 나에게로 와서 꽃이 되었다.”로 시작한다. 우리가 의미를 부여하기 전, 꽃은 존..

양자역학에 관심이 있다면 양자지우개, quantum eraser라는 말을 들어봤을 것이다. 못 들어보신 분도 있을 것이니 간단하게 설명해 보자. 먼저 레이저 포인터로 벽을 비춘다. 거리가 멀면, 벽에 둥글게 초점이 흐려진 붉은 영역이 보일 것이다. 이제, 벽과 포인터 사이에 수직으로 긴 줄을 하나 놓은 후, 벽을 바라보자. 그러면 아래와 같은 간섭 패턴을 관측할 수 있다. 빛은 파동이이고 wire때문에 그 빛은 좌측과 우측으로 갈라져서 벽에 도달할 때에 상쇄 혹은 보강 간섭하기 때문이다. 빛은 파동이다. 빛은 수직 혹은 수평 혹은 회전 편광이 가능하다. 빛을 수직 편광기를 통과시키면 수직 방향 성분만 남고 반대로 수평 편광기를 통과시키면 수평 방향 성분만 남는다. 입체 영화를 우리가 감상할 수 있는 방식..

===================== Derichlet 함수는 유리수일때 1, 무리수일때 0인 함수이다. 이 함수는 적분이 가능한가? 라는 질문을 던질 수 있다. 먼저 밑변을 잘게 쪼개고, 높이를 곱하고.. 하려고 하니 문제에 부딪힌다. 왜냐하면 아무리 잘게 쪼개도 그 구간에는 무한한 갯수의 유리수점과 무리수점들이 존재하기 때문에 높이란 것을 어떻게 잡아야 할지 결정할 수 없기 때문이다. 이것을 수학적으로 그 함수는 Rieman integral 하지 않다고 얘기한다 (monotone convergence theorem, MCT가 성립하지 않은 대표적인 예로 해석학 책에 소개된다). 그러면 이 함수를 적분할 수 있는 방법은 없을까? 프랑스 수학자 앙리 레옹 르벡(Henri Leon Lebesgue, 18..

유클리드 기하학의 제 5 공준인 평행선 공준 "선밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 유일하게 존재한다", 은 유클리드 자신도 이것을 공준으로 포함시켜야 할지 말아야 할지를 고민했을 정도로, 그것이 꼭 필요한 공리인지에 대해서 말들이 많았고, 실제로 많은 정리들을 5공준을 사용하지 않고 증명하였다. Gauss는 그 공준이 반드시 필요하지 않다는 것을 진작에 알고 있었고 그것이 필요없는 기하학을 이미 생각하였으나, 어리석은 중생들이 그 얘기를 이해하지 못하고 귀찮게 할 것을 우려하여 발표를 하지 않는다. 때가 흘러 "야노시"라는 수학자가 평행선이 무한개가 존재하는 공간인 쌍곡선기하 "보여이-로바체프스키 기하학"을 발표하였으나, 이미 가우스와 로바체프스키가 자신보다 먼저 연구를 했다는 내용에 실망한다..

Edward Witten 은 뉴질랜드 수학자 Jones와 함께 1990년, 수학계의 노벨상인 Fields medal을 수상한다. 올림픽처럼 4년마다, 40세 이하에게만 수여되기에 세상에서 가장 유명한 문제를 풀었다고 하는 와일스도 41세의 나이로 수상을 실패한(대신 fields 특별상 수상) 그 상을, 당대 쟁쟁한 수학자들을 모두 물리치고 수상한다. 전무후무한 일이며, 향 후로도 그런 일이 생길 것 같지는 않다. 수학자들의 자존심이 걸린 문제이기도 하기 때문이다. 그들의 공통된 업적은 knot theory에 관한 것이다. Knot(매듭) K는 3차원 공간의 closed curve를 말한다. 수학적으로는 “smooth embedding of the one sphere S1 onto R³”라고 한다. 2개의..

1. 다양체, Manifold 우리가 사는 세상의 공간은 실제로 질량에 의해서 휘어져 있다. 인간들은 이러한 비선형적인 공간을 직접적으로 다루기에는 아직 지능이 많이 부족하기에 그 공간을 조각조각 내어서 그것을 평면에 펼쳐서 연구하는 방식을 취한다. 부드럽게 휘어진 공간, 그래서 그 공간의 어떤 점을 잡더라도 그 점 주변을 n차원의 평면공간, n차원 유클리드 공간 Rn으로 근사화할 수 있다면 그 공간을 다양체 (manifold)라고 부르고 그 공간의 차원을 n이라고 한다. 우리가 사는 지구의 표면도 바로 2차원 다양체이다. 이제 m 차원 미분 다양체의 수학적 정의를 적어보자. 정의는 복잡해 보이지만, 우리가 구면인 지구를 평면인 지도로 바라보는 것을 상상하면 그렇게 어렵지 않은 정의이다. 우리가 직접 m..

위상공간에서 “connected space”라고 하면, 그 공간을 2개이상의 disjoint non-empty open subset의 합집합으로 표현할 수 없을 때를 말한다. 만약 위상 공간 내 임의의 두 점 x, y 를 연결하는 연속 함수 f : I → X, I=[0,1] unit interval 가 존재하는 경우, 그 공간은 “path-connected space”라고 한다. Path-connected → connected이지만 그 반대는 아니다. 그 예를 찾기가 쉽지는 않지만, 수학책에 자주 나오는 예가 아래 그림의 위상 정현파 곡선 (topologist sine curve)이다. 아래 그림의 곡선은 S={(x,sin(1/x)): 0

1. Homotopy 사면체(혹은 육면체, 팔면체..)와 구와 위상동형이다. 그들은 전혀 모양이 다른데, 어떻게 동형인가? 그 말을 얘기하려면 위상적으로 동형이라는 말의 의미를 명확히해야 할 것이다. 우리가 사면체를 적당히 주물럭하면 구를 만들 수 있다. 그러나 구와 도너츠는 위상 도형이 아니다. 구를 적당히 주물럭하면 도너츠를 만들수 있지 않나? 적당히는 어떤 의미인가? 사면체를 X, 구를 Y라고 하고, f:X→Y인 continuous function f가 존재하면 X~Y, X is homotopic to Y라고 부른다. 아래 그림에서 왼쪽은 가운데에 구멍이 있고, 오른쪽은 없다. 오른쪽에서loop β를 연속적으로 변형하여 α를 만들 수 있고, 더욱 변형하면 한 점으로 만들고 다시 연속적으로 변형하면 ..

대수학의 기본정리 (d’Alembert’s theorem)는 f(x)=a_n x_n + a_(n-1) x_(n-1)+… +a_0 = 0 이라는 모든 n차 방정식은 복소수상에서는 최소 1개의 해를 가진다는 것이다. 그런데 그 한 개를 분리하면 다시 n-1차 방정식이 되기에 결국은 n차 방정식은 복소수상에서 n개의 해를 가진다는 간단한 얘기를 하고 있다. 그러면 예를 들면 f(x)=(x-1)^2은 2개의 해를 가지지 않는데? 라고 누군가 질문할 수 있다. 이를 위해서 수학자들은 multiplicity 의 개념을 도입하여 multiplicity를 고려하면 n개의 해를 가진다고 얘기한다. 다른 말로는 그 방정식의 해는 1-ε, 1+ε의 두 해를 가지지만 ε가 무한소로 작아질 수 있다는 의미에서 2개의 해를 가진..

현대대수학의 ring구조에 대한 두번째 글이다. 내용은 많이 복잡하니, 현대 대수에 관심이 없다면 전혀 읽을 필요가 없다. ============================ 9. Euclidean domains 정수 환 Z의 모든 ideal은 principle ideal이다. (증명: I 가 Z의 ideal이라면, 그 중 가장 크기가 작은 원소 b∈I 가 존재할 것이다. Ideal의 정의상 bZ⊂I 이다. a∈I인 원소 하나를 고르면, 정수이기에 a=bq+r (r=0~b-1) 로 rd is another common divisor then, there should be some irreducible g which doesn’t belong to (a1~at) or (b1~bt) but divisor o..